《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

7. 如图所示,已知$AB= CD,BF= DE$,E,F是AC上两点,且$AE= CF$.
(1)试说明$△ABF\cong △CDE;$
(2)请你判断BF与DE的位置关系,并说明理由.

答案：
(1)
∵AE=CF,
∴AF=CE.在△ABF和△CDE中,$\left\{\begin{array}{l} AB=CD,\\ BF=DE,\\ AF=CE,\end{array}\right. $
∴△ABF≌△CDE(SSS).
(2)BF//DE理由如下:
∵△ABF≌△CDE(SSS),
∴∠BFA=∠DEC,
∴BF//DE.

8. 如图,已知$AB= AC,AD= AE,BE= CD$.
(1)求证:$∠BAC= ∠EAD;$
(2)写出$∠1,∠2,∠3$之间的数量关系,并予以证明.

答案：
(1)在△BAE和△CAD中,$\left\{\begin{array}{l} AE=AD,\\ AB=AC,\\ BE=CD,\end{array}\right. $
∴△BAE≌△CAD(SSS).
∴∠BAE=∠1.
∴∠BAE+∠EAC=∠1+∠EAC.
∴∠BAC=∠EAD.
(2)∠3=∠1+∠2.证明如下:
∵△BAE≌△CAD,
∴∠1=∠BAE,∠2=∠ABE.
∵∠3=∠BAE+∠ABE,
∴∠3=∠1+∠2.

9. (2025·黑龙江哈尔滨巴彦期末)如图,点B,E,C,F在一条直线上,$AB= DE,AC= DF,BE= CF$.
(1)如图(1),求证:$∠A= ∠D;$
(2)如图(2),$∠A= 70^{\circ },∠B= 40^{\circ }$,FG平分$∠DFE$交AC于点G,求$∠CGF$的度数.

答案：
(1)
∵BE=CF,
∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF.在△ABC和△DEF中,$\left\{\begin{array}{l} BC=EF,\\ AB=DE,\\ AC=DF,\end{array}\right. $
∴△ABC≌△DEF(SSS),
∴∠A=∠D.
(2)在△ABC中,∠A=70°,∠B=40°,
∴∠ACB=180°−(∠A+∠B)=70°.由
(1)可知:△ABC≌△DEF,
∴∠ACB=∠DFE=70°,
∵FG平分∠DFE交AC于点G,
∴∠CFG=$\frac{1}{2}$∠DFE=35°.
∵∠ACB是△CFG的一个外角，
∴∠ACB=∠CFG+∠CGF,
∴70°=35°+∠CGF,
∴∠CGF=35°.

10. 中考新考法 条件选择开放(2024·淄博中考)如图,已知$AB= CD$,点E,F在线段BD上,且$AF= CE$.请从①$BF= DE$;②$∠BAF= ∠DCE$;③$AF= CF$中.选择一个合适的选项作为已知条件,使得$△ABF\cong △CDE$.
你添加的条件是:①(只填写一个序号).添加条件后,请证明$AE// CF$.

答案： 当选择①BF=DE时,在△ABF和△CDE中,$\left\{\begin{array}{l} AB=CD,\\ AF=CE,\\ BF=DE,\end{array}\right. $
∴△ABF≌△CDE(SSS),
∴∠B=∠D,BF=DE,
∴BF+EF=DE+EF,即BE=DF.在△ABE和△CDF中,$\left\{\begin{array}{l} AB=CD,\\ ∠B=∠D,\\ BE=DF,\end{array}\right. $
∴△ABE≌△CDF(SAS),
∴∠AEB=∠CFD,
∴AE//CF.当选择②∠BAF=∠DCE时,在△ABF和△CDE中,$\left\{\begin{array}{l} AB=CD,\\ ∠BAF=∠DCE,\\ AF=CE,\end{array}\right. $
∴△ABF≌△CDE(SAS),
∴∠B=∠D,BF=DE,同理可证:△ABE≌△CDF(SAS),
∴∠AEB=∠CFD,
∴AE//CF.当选择③AF=CF时,不能判定△ABF≌△CDE.