《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

9. (2025·上海杨浦区期末)如图,已知$\angle B = \angle C = 90^{\circ}$,$M是BC$的中点,$DM平分\angle ADC$。求证：
(1)$AM平分\angle DAB$；
(2)$DM \perp AM$。

答案：

(1)如图,过点M作ME⊥AD,垂足为E.
∵DM平分∠ADC,∠C=90°,
∴∠1=∠2,ME=MC.
∵M是BC的中点,
∴MC=MB,
∴ME=MB.
∵MB⊥AB,ME⊥AD,
∴AM平分∠DAB.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)
∵∠B=∠C=90°,
∴DC⊥CB,AB⊥CB,
∴CD//AB,
∴∠CDA+∠DAB=180°.
∵∠1=$\frac{1}{2}$∠CDA,∠3=$\frac{1}{2}$∠DAB,
∴2∠1+2∠3=180°,
∴∠1+∠3=90°,
∴∠AMD=90°,即DM⊥AM.

10. (2025·浙江宁波余姚期末)如图,在$\triangle ABC$中,点$D在BC$边上,$\angle BAD = 100^{\circ}$,$\angle ABC的平分线交AC于点E$,过点$E作EF \perp AB$,垂足为$F$,且$\angle AEF = 50^{\circ}$,连接$DE$。
(1)求证：$AE平分\angle FAD$；
(2)求证：$DE平分\angle ADC$；
(3)若$AB = 7$,$AD = 4$,$CD = 8$,$S_{\triangle ACD} = 15$,求$\triangle ABE$的面积。

答案：

(1)
∵EF⊥AB,
∴∠AFE=90°.
∵∠AEF=50°,
∴∠EAF=90°−∠AEF=90°−50°=40°.
∵∠BAD=100°,
∴∠DAE=180°−100°−40°=40°=∠EAF,
∴AE平分∠FAD.
(2)如图,过点E作EM⊥AD于M,EN⊥BC于N.
∵BE平分∠ABC,EF⊥AB,
∴EF=EN.
∵AE平分∠DAF,EF⊥AB,EM⊥AD,
∴FE=EM,
∴EM=EN.
∵EM⊥AD,EN⊥CD,
∴DE平分∠ADC.
　　　
(3)
∵△ACD的面积=△ADE的面积+△CDE的面积,
∴$\frac{1}{2}$AD·EM+$\frac{1}{2}$CD·EN=15,
∴$\frac{1}{2}$(AD+CD)·EM=15,
∴$\frac{1}{2}$×(4+8)×EM=15,
∴EM=$\frac{5}{2}$,
∴EF=$\frac{5}{2}$,
∴△ABE的面积=$\frac{1}{2}$AB·EF=$\frac{1}{2}$×7×$\frac{5}{2}$=$\frac{35}{4}$.

11. 中考新考法 无刻度直尺作图
(1)如图(1),用尺规作$\triangle ABC的两个内角\angle A$,$\angle B$的平分线,设交点为$O$,点$O在\angle C$的平分线上吗？试说明你的猜想,你有什么发现？
(2)如图(2),用尺规作$\triangle ABC的两个外角\angle BAE$,$\angle ABF$的平分线,设交点为$O$,点$O在\angle C$的平分线上吗？试说明你的猜想,你有什么发现？
(3)请用你的发现解决下面的实际问题：如图(3),直线$l_1$,$l_2$,$l_3$表示三条互相交叉的公路,现要建一个加油站,要使它到三条公路的距离相等,画出符合要求的点的位置,共有几个？

答案：

(1)如图
(1),点O在∠ACB的平分线上.由此可以得到三角形的三条内角平分线相交于一点O，点O到三角形三条边的距离相等.
　　　　　　　　
(2)如图
(2),点O在∠C的平分线上.由此可以得到点O到三角形三条边的距离相等.
　　
(3)如图
(3),符合条件的点有4个:点G,H,I,J.