《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 2\angle C$,$BD为\triangle ABC$的角平分线,$BC = 5$,$AB = 3$,求$AD$的长.

答案：
1. 如图,在 BC 上截取 BE=AB,则 CE=BC - BE=5 - 3=2.
∵BD 为∠ABC 的平分线,
∴∠ABD=∠CBD.
在△ABD 和△EBD 中,{AB=BE,∠ABD=∠CBD,BD=BD}
∴△ABD≌△EBD(SAS),
∴AD=DE,∠BED=∠A.
∵∠BAC=2∠C,∠BED=∠C+∠CDE,
∴∠C=∠CDE,
∴CE=DE=2,
∴AD=DE=2.

变式 1.1 如图,在四边形$ABCD$中,$AC$,$BD相交于点E$,$E为BD$的中点,$\angle BAC = 2\angle ACD$,$AE = 1$,$AC = 3.5$,求$AB$的长.

答案：
变式1.1 如图,过点 D 作 DF//AB 交 AC 于 F,
∴∠BAC=∠DFE.
∵E 为 BD 的中点,
∴BE=DE.
在△ABE 与△FDE 中,{∠BAC=∠DFE,∠AEB=∠FED,BE=DE}
∴△ABE≌△FDE(AAS),
∴AE=FE=1,AB=FD.
∵∠BAC=2∠ACD,∠BAC=∠DFE=∠FDC+∠ACD,
∴∠FDC=∠FCD,
∴FD=FC,
∴AB=FC.
∵FC=AC - AE - EF=3.5 - 1 - 1=1.5,
∴AB=1.5.

变式 1.2 如图,点$D在\triangle ABC$的内部,$AD$,$BD$,$CD分别平分\angle BAC$,$\angle ABC$,$\angle ACB$,且$AB + BD = AC$.求证:$\angle ABC = 2\angle ACB$.

答案：
变式1.2 如图,在 AC 上截取 AE,使 AE=AB,连接 DE.

∵AD,BD,CD 分别平分∠BAC,∠ABC,∠ACB,
∴∠DAB=∠DAE,∠DBA=∠DBC,∠DCA=∠DCB.
∵AB+BD=AC,AE=AB,AE+CE=AC,
∴DB=CE.
在△ADB 和△ADE 中,{AB=AE,∠DAB=∠DAE,AD=AD}
∴△ADB≌△ADE(SAS),
∴BD=DE,∠ABD=∠AED,
∴DE=CE,
∴∠EDC=∠ECD,
∴∠AED=2∠ECD,
∴∠ABD=2∠ECD,
∴∠ABC=2∠ACB.

变式 1.3 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC = 2\angle ACB$,点$D在边BC$上,$AB + BD = AC$.求证:$AD平分\angle BAC$.

答案：
变式1.3 如图,延长 AB 至 G,使 BG=BD,连接 DG,CG,则∠BDG=∠AGD,
∴∠ABC=∠BDG+∠AGD=2∠AGD.
∵∠ABC=2∠ACB,
∴∠AGD=∠ACB,
∵AB+BD=AC,BG=BD,AB+BG=AG,
∴AG=AC,
∴∠AGC=∠ACG,
∴∠DGC=∠DCG,
∴DG=DC.
在△ADG 和△ADC 中,{AG=AC,DG=DC,AD=AD}
∴△ADG≌△ADC(SSS),
∴∠DAG=∠DAC,
即 AD 平分∠BAC.

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$AB = AC$,$AD$是高,$E是AB$上一点,连接$DE$,过点$D作DF\perp DE$,交$AC于点F$,连接$EF$,交$AD于点G$.
(1)若$AB = 6$,$AE = 2$,求线段$AF$的长;
(2)求证:$\angle AGF = \angle AED$.

答案： 2.
(1)
∵△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,AD 是高,
∴BD=CD=AD=$\frac{1}{2}$BC,∠B=∠C=45°,∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°.
∵DF⊥DE,
∴∠EDF=∠ADC=90°,
∴∠ADE=∠CDF.
在△ADE 和△CDF 中,{∠ADE=∠CDF,AD=CD,∠BAD=∠C}
∴△ADE≌△CDF(ASA),
∴AE=CF=2.
∵AC=AB=6,
∴AF=AC - CF=6 - 2=4.
(2)由
(1)得△ADE≌△CDF,
∴DE=DF.
∵∠EDF=90°,
∴△DEF 是等腰直角三角形,
∴∠DEF=∠DFE=45°.
∵∠AGF=∠DAE+∠AEG=45°+∠AEG,∠AED=∠DEF+∠AEG=45°+∠AEG,
∴∠AGF=∠AED.