《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

19. (2025·河南周口太康期中改编)下面是某数学兴趣小组探究用不同方法简便计算“$102×98$”的讨论片段,请你仔细阅读,并完成相应的任务。
小明：$102×98= (100+2)×98= 100×98+2×98= 9800+196= 9996$；
小军：我认为小明的计算方法比直接计算简便,但是计算量还是有些大,可以改进如下：
$102×98= (100+2)×(100-2)= 100^{2}-2^{2}= 10000-4= 9996$。
张老师认为,小明和小军的做法都正确且简便,但计算原理不同。
任务：(1)小明进行简便计算的原理为乘法分配律：$a(b+c)=$ab+ac；小军进行简便计算的原理为乘法公式(a+b)(a-b)=a²-b²。
(2)选择一种较为简便的方法,完成下列计算：
①$29×31$；
②$2024^{2}-2023×2025$。
①$29×31=(30-1)×(30+1)=30²-1²=900-1=899$；②原式$=2024²-(2024-1)(2024+1)=2024²-(2024²-1)=1$

答案：
(1)ab+ac (a+b)(a-b)=a²-b²
(2)①29×31=(30-1)×(30+1)=30²-1²=900-1=899;②原式=1.

20. 中考新考法 解题方法型阅读理解题 (1)阅读下面的材料并填空：
①$(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})= 1-\frac{1}{2^{2}}$,反过来,得$1-\frac{1}{2^{2}}= (1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})= \frac{1}{2}×\frac{3}{2}$；
②$(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})= 1-\frac{1}{3^{2}}$,反过来,得$1-\frac{1}{3^{2}}= (1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})= $$\frac{2}{3}×\frac{4}{3}$；
③$(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})= 1-\frac{1}{4^{2}}$,反过来,得$1-\frac{1}{4^{2}}= $$(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})$$=\frac{3}{4}×\frac{5}{4}$。
(2)利用上面的材料中的方法和结论计算下题：
$(1-\frac{1}{2^{2}})(1-\frac{1}{3^{2}})(1-\frac{1}{4^{2}})×…×(1-\frac{1}{2023^{2}})×(1-\frac{1}{2024^{2}})(1-\frac{1}{2025^{2}})$。
$(1-\frac{1}{2^{2}})(1-\frac{1}{3^{2}})(1-\frac{1}{4^{2}})×…×(1-\frac{1}{2023^{2}})×(1-\frac{1}{2024^{2}})(1-\frac{1}{2025^{2}})=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×…×\frac{2024}{2025}×\frac{2026}{2025}=\frac{1013}{2025}$

答案：
(1)②$\frac{2}{3}×\frac{4}{3}$ ③$(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})$
(2)$(1-\frac{1}{2^{2}})(1-\frac{1}{3^{2}})(1-\frac{1}{4^{2}})×…×(1-\frac{1}{2023^{2}})×(1-\frac{1}{2024^{2}})(1-\frac{1}{2025^{2}})=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×…×\frac{2024}{2025}×\frac{2026}{2025}=\frac{1013}{2025}$.

21. 归纳法 (2025·江西上饶期末)阅读解答：
(1)填空：
$(a-b)(a+b)=$$a^{2}-b^{2}$；
$(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=$$a^{3}-b^{3}$；
$(a-b)(a^{3}+a^{2}b+ab^{2}+b^{3})=$$a^{4}-b^{4}$；
(2)类推：$(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+…+ab^{n-2}+b^{n-1})=$$a^{n}-b^{n}$(其中$n$为正整数,且$n\geqslant2$)；
(3)利用(2)的结论计算：
①$2^{21}+2^{20}+2^{19}+…+2^{3}+2^{2}+2+1$；
②$7^{16}-7^{15}+7^{14}-7^{13}+7^{12}-7^{11}+…-7^{3}+7^{2}-7$。
(3)①原式=(2-1)(2²¹+2²⁰+2¹⁹+…+2³+2²+2+1)=2²²-1. ②$7^{16}-7^{15}+7^{14}-7^{13}+7^{12}-7^{11}+…-7^{3}+7^{2}-7=\frac{7-(-1)}{8}[7^{16}+7^{15}×(-1)+7^{14}×(-1)^{2}+…+7^{2}×(-1)^{14}+7×(-1)^{15}]=\frac{7^{17}-(-1)^{17}}{8}-1=\frac{7^{17}+1}{8}-1=\frac{7^{17}-7}{8}$.

答案：
(1)$a^{2}-b^{2}$ $a^{3}-b^{3}$ $a^{4}-b^{4}$
(2)$a^{n}-b^{n}$
(3)①原式=(2-1)(2²¹+2²⁰+2¹⁹+…+2³+2²+2+1)=2²²-1. ②$7^{16}-7^{15}+7^{14}-7^{13}+7^{12}-7^{11}+…-7^{3}+7^{2}-7=\frac{7-(-1)}{8}[7^{16}+7^{15}×(-1)+7^{14}×(-1)^{2}+…+7^{2}×(-1)^{14}+7×(-1)^{15}]=\frac{7^{17}-(-1)^{17}}{8}-1=\frac{7^{17}+1}{8}-1=\frac{7^{17}-7}{8}$.