《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

4. 分类讨论思想 如图,$CA\perp AB$,垂足为$A$,射线$BM\perp AB$,垂足为$B$,$AB= 12cm$,$AC= 6cm$。动点$E从点A出发以3cm/s的速度沿射线AN$运动,动点$D在射线BM$上,随着点$E$运动而运动,始终保持$ED= CB$。若点$E的运动时间为t\ s(t＞0)$,则当$t$为多少时,$\triangle DEB与\triangle BCA$全等？

答案： 4.①当点E在线段AB上,且AC=BE时,△ACB≌△BED,
∵AC=6cm,
∴BE=6cm,
∴AE=12−6=6(cm),
∴点E 的运动时间为6÷3=2(秒);
②当E在射线BN上,AC=BE时,
∵AC=BE=6cm,
∴AE=12+6=18(cm),
∴点E的运动时间为18÷3=6(秒);
③当E在线段AB上,AB=EB时,△ACB≌△BDE,这时E在A点未动，因此时间为0秒(舍去此情况);
④当E在射线BN上,AB=EB时,△ACB≌△BDE,AE=12+12=24(cm),
∴点E的运动时间为24÷3=8(秒).
综上，t的值为2或6或8.

5. (2025·山东济南莱芜区期中)已知$\angle AOB= 90^{\circ}$,$OA= OB$,直线$l经过点O$,分别过点$A$,$B作直线l$的垂线,垂足分别是$C$,$D$。
(1)如图(1),当直线$l在\angle AOB$外部时,试证明$CD= AC+BD$。
(2)如图(2),当直线$l过\angle AOB$内部时,(1)中的结论还成立吗？如果成立,说明理由；如果不成立,请写出正确的结论并证明。

答案： 5.
(1)
∵AC⊥直线l,BD⊥直线l,
∴∠ACO=∠ODB=90°,
∴∠A+∠AOC=90°.
∵∠AOB=90°,
∴∠AOC+∠BOD=90°,
∴∠A=∠BOD.
在△ACO和△ODB中，∠ACO=∠ODB，∠A=∠BOD，OA=BO，
∴△ACO≌△ODB(AAS).
∴AC=OD,OC=BD,
∴CD=OD+OC=AC+BD.
(2)
(1)中的结论不成立,CD=AC−BD,证明如下:
∵AC⊥直线l,BD⊥直线l,
∴∠ACO=∠ODB=90°,
∴∠A+∠AOC=90°.
∵∠AOB=90°,
∴∠AOC+∠BOD=90°,
∴∠A=∠BOD.
在△ACO和△ODB中，∠ACO=∠ODB，∠A=∠BOD，OA=BO，
∴△ACO≌△ODB(AAS),
∴AC=OD,OC=BD,
∴CD=OD−OC=AC−BD.