《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

1. (2024·江西南昌三中期末)如图,在$\triangle ABC$中,$AD$,$AF分别为\triangle ABC$的中线和高,$BE为\triangle ABD$的角平分线.
(1)若$∠BED= 60^{\circ },∠BAD= 40^{\circ }$,求$∠BAF$的大小;
(2)若$\triangle ABC$的面积为40,$BD= 5$,求$AF$的长.

答案：
(1)
∵∠BED=∠ABE+∠BAE，
∴∠ABE=60°-40°=20°.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABE=40°.
∵AF为高，
∴∠AFB=90°，
∴∠BAF=90°-∠ABF=90°-40°=50°.
(2)
∵AD为中线，
∴BC=2BD=10.
∵S△ABC=$\frac{1}{2}$AF·BC，
∴AF=$\frac{2×40}{10}$=8.

2. (2024·河南漯河召陵区期末)如图,在$\triangle ABC$中,$AD为BC$边上的高,$AE是∠BAD$的平分线,点$F为AE$上一点,连接$BF$,$∠BFE= 45^{\circ }$.
(1)求证:$BF平分∠ABE$;
(2)连接$CF交AD于点G$,若$S_{\triangle ABF}= S_{\triangle CBF}$,求证:$∠AFC= 90^{\circ }$;
(3)在(2)的条件下,当$BE= 3,AG= 4.5$时,求线段$AB$的长.

答案：

(1)
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAD=2∠BAF.
∵∠BFE=45°，
∴∠FBA+∠BAF=45°，
∴2∠FBA+2∠BAF=90°.
∵AD为BC边上的高，
∴∠EBF+∠FBA+2∠BAF=90°，
∴2∠FBA=∠EBF+∠FBA，
∴∠EBF=∠FBA，
∴BF平分∠ABE.
(2)如图，过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥AB于点N.
∵BF平分∠ABE，FM⊥BC，FN⊥AB，
∴FM=FN.
∵S△ABF=S△CBF，
即$\frac{1}{2}$AB·FN=$\frac{1}{2}$BC·FM，
∴AB=BC.
在△ABF和△CBF中，∠ABF=∠CBF，BF=BF，
∴△ABF≌△CBF(SAS)，
∴∠AFB=∠CFB.
∵∠BFE=45°，
∴∠AFB=135°，
∴∠CFB=135°，
∴∠CFE=∠CFB - ∠BFE=90°，
∴∠AFC=90°.

(3)
∵△ABF≌△CBF，
∴AF=FC.
∵∠AFC=∠ADC=90°，∠AGF=∠CGD，
∴∠FAG=∠FCE，
在△AFG和△CFE中，∠AFG=∠CFE，AF=CF，∠FAG=∠FCE，
∴△AFG≌△CFE(ASA)，
∴AG=EC=4.5.
∵BE=3，
∴BC=BE+EC=7.5.
∵△ABF≌△CBF，
∴AB=BC=7.5.

3. 如图,$AD// BC,∠D= 90^{\circ },∠CPB= 30^{\circ },∠DAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点P$,且$D,P,C$在同一条直线上.
(1)求$∠PAD$的度数;
(2)求证:$P是线段CD$的中点.

答案：

(1)
∵AD//BC，∠D=90°，
∴∠C=180°-∠D=180°-90°=90°.
∵∠CPB=30°，
∴∠PBC=90°-∠CPB=90°-30°=60°.
∵PB平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠PBC=120°.
∵AD//BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴∠DAB=180°-120°=60°.
∵AP平分∠DAB，
∴∠PAD=$\frac{1}{2}$∠DAB=30°.
(2)过点P作PE⊥AB于点E，如图
∵AP平分∠DAB，PD⊥AD，PE⊥AB，
∴PE=PD.
∵BP平分∠ABC，PC⊥BC，PE⊥AB，
∴PE=PC，
∴PD=PC，
∴P是线段CD的中点.

4. 截长补短 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC,∠A= 100^{\circ },BD平分∠ABC$.求证:$BC= BD+AD$.

答案：
如图，在BC上截取BE=BA，延长BD到点F，使BF=BC，连接DE，CF.
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2.
又BD是公共边，BE=BA，
∴△ABD≌△EBD(SAS)，
∴DA=DE，∠DEB=∠A.
∵∠A=100°，∠DEC+∠DEB=180°，
∴∠DEB=100°，∠DEC=80°.
∵AB=AC，BD平分∠ABC，
∴∠ABC=∠3=$\frac{180° - ∠A}{2}$=$\frac{180° - 100°}{2}$=40°.
∴∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠ABC=20°.
∵BC=BF，∠2=20°，
∴∠F=∠FCB=$\frac{1}{2}$(180° - ∠2)=80°.
∴∠F=∠DEC.
∴∠4=∠FCB - ∠3=80° - 40°=40°.
∴∠3=∠4.
又DC=DC，
∴△DCE≌△DCF(AAS).
∴DF=DE=AD.
∴BC=BF=BD+DF=BD+AD.

难点突破　本题需要利用角平分线的对称性作出辅助线，然后通过三角形的内角和，全等三角形的判定和性质来解决问题