《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

17. 对下列多项式进行因式分解:
(1)$15b(2a-b)^{2}+25(b-2a)^{3}$;
(2)$2x^{m}-4x^{m-1}+6x^{m-2}$.

答案：
(1)原式=5(2a-b)²(3b+5b-10a)=10(2a-b)²(4b-5a).
(2)原式=2x^{m-2}(x²-2x+3).

18. 教材 P127 习题 T3·变式 利用因式分解法简化计算:
(1)$539^{2}-439×539$;
(2)$32×3.14+5.4×31.4+0.14×314$.

答案：
(1)原式=539×(539-439)=539×100=53900.
(2)原式=32×3.14+54×3.14+14×3.14=(32+54+14)×3.14=314.

19. 特殊值法 (2025·重庆綦江区期末)综合与实践:特值法是解决数学问题的一种常用方法,即通过取题中某个未知量为特殊值,从而通过简单的运算,得出最终答案的一种方法. 综合实践课上田老师展示了如下例题:
例:已知多项式$2x^{3}-2x^{2}+m有一个因式是x+1$,求$m$的值.
解:由题意,设$2x^{3}-2x^{2}+m= A\cdot (x+1)$($A$为整式),
由于上式为恒等式,为了方便计算,取$x= -1$,
则$2×(-1)^{3}-2×(-1)^{2}+m= 0$,解得$m= ■$.
数学思考:(1)“■”处$m$的值为____4;
方法应用:(2)已知多项式$2x^{3}-x^{2}-x+b有一个因式是2x-1$,求$b$的值;
由题意，设$2x^{3}-x^{2}-x+b = A\cdot (2x - 1)$（$A$为整式），令$2x - 1 = 0$，即$x = \frac{1}{2}$，代入式子，得$2×(\frac{1}{2})^{3}-(\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{2}+b = 0$，解得$b = \frac{1}{2}$
深入探究:(3)若多项式$x^{4}+ax^{3}+bx - 3$有因式$(x - 1)$和$(x + 2)$，求$a,b$的值.
依题意，设$x^{4}+ax^{3}+bx - 3 = A\cdot (x - 1)(x + 2)$（$A$为整式），取$x = 1$，得$1^{4}+a×1^{3}+b×1 - 3 = 0$，即$a + b = 2$；取$x = -2$，得$(-2)^{4}+a×(-2)^{3}+b×(-2)-3 = 0$，即$8a + 2b = 13$。解方程组$\begin{cases}a + b = 2 \\8a + 2b = 13\end{cases}$，得$\begin{cases}a = \frac{3}{2} \\b = \frac{1}{2}\end{cases}$，所以$a = \frac{3}{2}$，$b = \frac{1}{2}$

答案：
(1)4 [解析]依题意,由2×(-1)³-2×(-1)²+m=0,解得m=4.
(2)由题意,设2x³-x²-x+b=A·(2x-1)(A为整式),令2x-1=0,即$x=\frac{1}{2},$代入式子,得$2×(\frac{1}{2})³-(\frac{1}{2})²-\frac{1}{2}+b=0,$解得$b=\frac{1}{2}.(3)$依题意,设x⁴+ax³+bx-3=A·(x-1)(x+2),虽然本题不要求求A,但学生应明确A是一个关于x的二次多项式,并可以求出来由于上式是恒等式,为方便计算,取x=1,得1⁴+a×1³+b×1-3=0,即a+b=2,取x=-2,得(-2)⁴+a×(-2)³+b×(-2)-3=0,即8a+2b=13,解方程组$\begin{cases}a+b=2, \\8a+2b=13,\end{cases}$得$\begin{cases}a=\frac{3}{2}, \\b=\frac{1}{2},\end{cases}$
∴$a=\frac{3}{2},b=\frac{1}{2}.$

20. 中考新考法 解题方法型阅读理解题 先阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题.
$1+x+x(x+1)+x(x+1)^{2}$
$=(1+x)[1+x+x(x+1)]$
$=(1+x)^{2}(1+x)$
$=(1+x)^{3}$.
(1)上述分解因式的方法是提公因式法,共应用了2次;
(2)若分解因式$1+x+x(x+1)+x(x+1)^{2}+... +x(x+1)^{2023}$,则需应用上述方法2023次,结果是$(1+x)^{2024}$;
(3)分解因式:$1+x+x(x+1)+x(x+1)^{2}+... +x(x+1)^{n}$($n$为正整数).
精题详解原式=(1+x)[1+x+x(x+1)+x(x+1)²+…+x(x+1)^{n-1}]=(1+x)²[1+x+x(x+1)+x(x+1)²+…+x(x+1)^{n-2}]=…=(1+x)^{n+1}.

答案：
(1)提公因式法 2
(2)2023 (1+x)^{2024}
(3)原式=(1+x)[1+x+x(x+1)+x(x+1)²+…+x(x+1)^{n-1}]=(1+x)²[1+x+x(x+1)+x(x+1)²+…+x(x+1)^{n-2}]=…=(1+x)^{n+1}.