《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

变式4.1 若今天是星期二,经过$8^{100}$天后是星期三;

答案： 变式4.1 三 [解析]8¹⁰⁰ = (7 + 1)¹⁰⁰的最后一项是1,则8¹⁰⁰÷7的余数是1,
∴若今天是星期二,经过8¹⁰⁰天后是星期三.

变式4.2 计算:$2^{5}-5×2^{4}+10×2^{3}-10×2^{2}+5×2-1.$

答案： 变式4.2 根据规律可知,2⁵ - 5×2⁴ + 10×2³ - 10×2² + 5×2 - 1 = [2 + (-1)]⁵ = 1.

5. (1)填空并观察下列各式的规律:
$(a-b)(a+b)=$$a² - b²$;
$(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})= a^{3}-b^{3};$
$(a-b)(a^{3}+a^{2}b+ab^{2}+b^{3})= a^{4}-b^{4};$
$(a-b)(a^{4}+a^{3}b+a^{2}b^{2}+ab^{3}+b^{4})= a^{5}-b^{5};$
…;
可得到$(a-b)(a^{2024}+a^{2023}b+... +ab^{2023}+b^{2024})=$$a^{2025}-b^{2025}$.
(2)猜想:$(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+... +ab^{n-2}+b^{n-1})=$$aⁿ - bⁿ$(其中$n$为正整数,且$n≥2$).

答案： 5.
(1)a² - b² a²⁰²⁵ - b²⁰²⁵
(2)aⁿ - bⁿ

变式5.1 计算:$(3-1)×(3^{50}+3^{49}+3^{48}+... +3^{2}+3+1)=$$3^{51}-1$.

答案： 变式5.1 3⁵¹ - 1

变式5.2 计算:$3^{20}-3^{19}+3^{18}-3^{17}+... -3^{3}+3^{2}-3+1.$

答案： 变式5.2
∵(a - b)(aⁿ⁻¹ + aⁿ⁻²b + … + abⁿ⁻² + bⁿ⁻¹) = aⁿ - bⁿ,令a = 3,b = -1,n = 21,则(3 + 1)(3²⁰ - 3¹⁹ + 3¹⁸ - 3¹⁷ + … - 3³ + 3² - 3 + 1) = 3²¹ - (-1)²¹ = 3²¹ + 1,
∴3²⁰ - 3¹⁹ + 3¹⁸ - 3¹⁷ + … - 3³ + 3² - 3 + 1 = $\frac{1}{4}$(3²¹ + 1).

变式5.3 若多项式$P,Q满足(a+b)\cdot P= a^{2024}-b^{2024},(a+b)\cdot Q= a^{2025}+b^{2025}$,用一个含$a,b的式子表示出P,Q$之间的数量关系.

答案： 变式5.3
∵(a - b)(aⁿ⁻¹ + aⁿ⁻²b + … + abⁿ⁻² + bⁿ⁻¹) = aⁿ - bⁿ,
∴[a - (-b)][aⁿ⁻¹ - aⁿ⁻²b + … + a(-b)ⁿ⁻² + (-b)ⁿ⁻¹] = aⁿ - (-b)ⁿ.当n = 2024时,[a - (-b)](a²⁰²³ - a²⁰²²b + … + ab²⁰²² - b²⁰²³) = a²⁰²⁴ - (-b)²⁰²⁴ = a²⁰²⁴ - b²⁰²⁴.
∵(a + b)·P = a²⁰²⁴ - b²⁰²⁴,
∴P = a²⁰²³ - a²⁰²²b + … + ab²⁰²² - b²⁰²³.当n = 2025时,[a - (-b)](a²⁰²⁴ - a²⁰²³b + … - ab²⁰²³ + b²⁰²⁴) = a²⁰²⁵ - (-b)²⁰²⁵ = a²⁰²⁵ + b²⁰²⁵.
∵(a + b)·Q = a²⁰²⁵ + b²⁰²⁵,
∴Q = a²⁰²⁴ - a²⁰²³b + … - ab²⁰²³ + b²⁰²⁴ = a(a²⁰²³ - a²⁰²²b + … - b²⁰²³) + b²⁰²⁴,
∴Q = aP + b²⁰²⁴.