《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

14. 通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式,如图可表示的代数恒等式是(A).

A.$2a(a + b) = 2a^{2} + 2ab$
B.$2a(2a + b) = 4a^{2} + 2ab$
C.$(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$
D.$(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$

答案： A

15. (2025·上海闵行区期中)要使$(-2x^{2} + mx + 1) \cdot (-3x^{2})$的展开式中不含$x^{3}$项,则$m = $0.

答案： 0

16. (2024·广东佛山南海区期末)老师在黑板上书写了一个正确的演算过程,随后用手掌捂住了一个多项式,形式如下：$÷ (-\frac{1}{2}y) = -6x + 2y - 1$,则手掌捂住的多项式为$3xy - y^{2}+\frac{1}{2}y$.

答案： $3xy - y^{2}+\frac{1}{2}y$

17. 教材P106练习T4·变式 先化简,再求值：
(1)$3x(x - 1) - x(2x + 5)$,其中$x = - 1$；
(2)$2xy(x^{3}y + 3x) + xy(x^{3}y - x)$,其中$x^{2}y = 3$.

答案：
(1)$3x(x - 1)-x(2x + 5)=3x^{2}-3x-2x^{2}-5x=x^{2}-8x$.当$x = -1$时，原式$=(-1)^{2}-8×(-1)=9$.
(2)$2xy(x^{3}y + 3x)+xy(x^{3}y - x)=2x^{4}y^{2}+6x^{2}y+x^{4}y^{2}-x^{2}y=3x^{4}y^{2}+5x^{2}y$.当$x^{2}y = 3$时，原式$=3×3^{2}+5×3 = 42$.

18. 解方程：$2x(x - 1) - x(2x + 3) = 15$.

答案： 去括号，得$2x^{2}-2x-2x^{2}-3x = 15$，合并同类项，得$-5x = 15$，系数化为1，得$x = -3$.

19. 规定一种运算：$a * b = a(a - b)$,化简$x^{2}y * xy^{2}$.

答案：
∵$a*b = a(a - b)$，
∴$x^{2}y*xy^{2}=x^{2}y(x^{2}y - xy^{2})=x^{4}y^{2}-x^{3}y^{3}$.

20. 教材P111习题T10·变式 (2025·福建厦门思明区期中)如图,一张长方形硬纸片$ABCD$,长$AD为(5a^{2} + 4b^{2})\text{m}$,宽$AB为6a^{4}\text{m}$,在它的四个角上分别剪去一个边长为$2a^{3}\text{m}$的小正方形(阴影部分所示),然后折成一个无盖的盒子,请你求出折成无盖盒子所用硬纸片的面积.

答案： $6a^{4}(5a^{2}+4b^{2})-4×(2a^{3})^{2}=30a^{6}+24a^{4}b^{2}-16a^{6}=(14a^{6}+24a^{4}b^{2})m^{2}$.故折成无盖盒子所用硬纸片的面积为$(14a^{6}+24a^{4}b^{2})m^{2}$.

21. 中考新考法 新定义问题 (2025·河南周口期中)已知$x$,$y$为有理数,现规定一种新运算,满足$x * y = xy + 1$.
(1)求$2 * 4$的值；
(2)求$(1 * 4) * (-2)$的值；
(3)探索$a * (b + c)与a * b + a * c$的关系,并用等式把它们表达出来.

答案：
(1)
∵$x*y = xy + 1$，
∴$2*4 = 2×4 + 1 = 9$.
(2)$(1*4)*(-2)=(1×4 + 1)×(-2)+1=-9$.
(3)$a*(b + c)=a(b + c)+1=ab + ac + 1$，$a*b + a*c=ab + 1+ac + 1=ab + ac + 1 + 1$.
∴$a*b + a*c=a*(b + c)+1$.