《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

4. (2024·湖南衡阳衡南期末)(1)如图(1),已知在△ABC中,∠BAC= 90°,AB= AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为D,E. 证明:DE= BD+CE.
(2)如图(2),将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB= AC,D,A,E三点都在直线m上,并且有∠BDA= ∠AEC= ∠BAC= α,其中α为任意锐角或钝角. 请问结论DE= BD+CE是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.

答案： 4.
(1)
∵BD⊥DE,CE⊥DE,
∴∠BDA=∠CEA=90°.
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD=90°,
∴∠ABD=∠CAE.
在△ABD和△CAE中,{∠BDA=∠CEA,∠ABD=∠CAE,AB=AC}
∴△ABD≌△CAE(AAS),
∴BD=AE,CE=DA,
∴DE=AE+DA=BD+CE.
(2)成立.证明如下:
∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,
∴∠BAD+∠CAE=180°−α,且∠DBA+∠BAD=180°−α,
∴∠DBA=∠CAE.
在△ABD和△CAE中,{∠BDA=∠CEA,∠ABD=∠CAE,AB=AC}
∴△ABD≌△CAE(AAS),
∴BD=AE,CE=DA,
∴DE=AE+DA=BD+CE.

5. (2025·河北石家庄四十四中期中)(1)已知:如图(1),∠MAN= 90°,射线AE在这个角的内部,点B,C分别在∠MAN的边AM,AN上,且AB= AC,CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D,求证:△ABD≌△CAF;
(2)类比探究:
如图(2),点B,C在∠MAN的边AM,AN上,点D,F在∠MAN内部的射线AE上,∠1,∠2分别是△ABD,△CAF的外角. 已知AB= AC,∠1= ∠2= ∠BAC. 求证:AD= CF;
(3)拓展应用:
如图(3),在△ABC中,AB= AC,AB＞BC,点D在边BC上,CD= 2BD,点E,F在线段AD上,∠1= ∠2= ∠BAC,若△ABC的面积为30,则△ACF与△BDE的面积之和为______.

(1)∵CF⊥AE,BD⊥AE,∴∠ADB=∠CFA=90°,∴∠ABD+∠BAD=90°.∵∠MAN=90°,∴∠CAF+∠BAD=90°,∴∠ABD=∠CAF.在△ABD和△CAF中,{∠ADB=∠CFA,∠ABD=∠CAF,AB=CA}∴△ABD≌△CAF(AAS).
(2)∵∠1=∠2,∴∠ADB=∠CFA.∵∠1=∠ABD+∠DAB,∠1=∠BAC=∠CAF+∠DAB,∴∠ABD=∠CAF.∵AB=AC,∴△ABD≌△CAF(AAS),∴AD=CF.
(3)10

答案： 5.
(1)
∵CF⊥AE,BD⊥AE,
∴∠ADB=∠CFA=90°,
∴∠ABD+∠BAD=90°.
∵∠MAN=90°,
∴∠CAF+∠BAD=90°,
∴∠ABD=∠CAF.
在△ABD和△CAF中,{∠ADB=∠CFA,∠ABD=∠CAF,AB=CA}
∴△ABD≌△CAF(AAS).
(2)
∵∠1=∠2,
∴∠ADB=∠CFA.
∵∠1=∠ABD+∠DAB,∠1=∠BAC=∠CAF+∠DAB,
∴∠ABD=∠CAF.
∵AB=AC,
∴△ABD≌△CAF(AAS),
∴AD=CF.
(3)由
(2)得△ABE≌△CAF,
∴S△ABE=S△CAF.
设点A到BC的高为h，
∴S△ACF+S△BDE=S△ABE+S△BDE=$\frac{1}{2}$BD·h,
且S△ABC=$\frac{1}{2}$BC·h=30.
∵CD=2BD,
∴BD=$\frac{1}{3}$BC,
∴S△ACF+S△BDE=$\frac{1}{2}$BD·h=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$BC·h=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$BC·h=$\frac{1}{3}$×30=10.