《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

1. (第十五届WMO选拔赛复赛)如图,AD是△ABC的一个外角的平分线,P是AD上异于点A的任意一点,设PB = m,PC = n,AB = c,AC = b,则m + n与b + c的大小关系是( ).


A.m + n ＞ b + c
B.m + n ＜ b + c
C.m + n = b + c
D.无法确定

答案：
1.A　[解析]如图,在BA的延长线上取点E,使AE=AC,连接EP.
　　　　　　
∵AD是∠CAE的平分线,
∴∠CAD=∠EAD.
在△ACP和△AEP中,{AC=AE,∠CAP=∠EAP,AP=AP}
∴△ACP≌△AEP(SAS).
∴PE=PC.
　在△PBE中,PB+PE＞AB+AE,
∴PB+PC＞AB+AC.
∵PB=m,PC=n,AB=c,AC=b,
∴m+n＞c+b.故选A.

2. 如图,△ABC是一个等腰直角三角形,四边形DEFG是其内接正方形,H是正方形的对角线的交点.那么,由图中的线段所构成的三角形中,相互全等的三角形的对数为(C).
A.12对
B.13对
C.26对
D.30对

答案： 2.C　[解析]图中所有三角形均为等腰直角三角形，其中，斜边长为DG的有5个，它们能组成10对全等三角形;斜边长为AG的有6个，它们能组成15对全等三角形;斜边长为AE的有2个,它们能组成1对全等三角形.共计26对.故选C.

3. (第二十一届“华杯赛”初赛)如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,AD ⊥ BD,△BCD的面积为45,△ADC的面积为20,则△ABD的面积等于______.

答案：
3.25　[解析]如图,延长AD交BC于点E.
∵BD平分∠ABC,AD⊥BD,
∴∠ABD=∠EBD,∠ADB=∠EDB=90°.
　又BD=BD,
∴△ABD≌△EBD(ASA),
∴AD=ED.
　　　　　　　　　　　　　　　
∴S△ADC=S△CDE,S△ABD=S△BDE=S△BCD - S△CDE.
∵S△BCD=45,S△ADC=20,
∴S△ABD=S△BCD - S△ADC=45 - 20=25.

4. 如图,已知△ABC是等腰直角三角形,∠C = 90°,点M,N分别是边AC和BC的中点,点D在射线BM上,且BD = 2BM.点E在射线NA上,且NE = 2NA,求证:BD ⊥ DE.

答案： 4.取AD的中点F,连接EF,
∴AF=DF=$\frac{1}{2}$AD.
∵△ABC是等腰直角三角形，点M,N分别是边AC和BC的中点,
∴BC=AC,AC=2CM,BC=2CN.
∴CM=CN.
在△BCM和△ACN中,{BC=AC,∠C=∠C,CM=CN}
∴△BCM≌△ACN(SAS).
∴AN=BM,∠CBM=∠CAN.
∵BD=2BM,NE=2NA,
∴BM=DM,AE=NA.
在△CMB和△AMD中,{MC=MA,∠CMB=∠AMD,BM=DM}
∴△CMB≌△AMD(SAS).
∴∠DAC=∠C=90°,∠ADM=∠CBM=∠NAC,BC=AD.
∴AD//BC,NC=AF.
∴∠EAF=∠ANC.
在△EAF和△ANC中,{AE=NA,∠EAF=∠ANC,AF=NC}
∴△EAF≌△ANC(SAS).
∴∠NAC=∠AEF,∠AFE=∠C=90°.
∴∠AFE=∠DFE=90°.
∵F为AD的中点,
∴AF=DF.
在△AFE和△DFE中,{AF=DF,∠AFE=∠DFE,EF=EF}
∴△AFE≌△DFE(SAS).
∴∠EAD=∠EDA=∠ANC.
∴∠EDB=∠EDA+∠ADB=∠EAD+∠NAC=180° - ∠DAM=180° - 90°=90°.
∴BD⊥DE.