《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$BE$是角平分线,$AD\perp BE$,垂足为$D$,求证:$\angle 2= \angle 1+\angle C$.

答案： 如图,延长AD交BC于点F.
∵AD⊥BE,
∴∠ADB=∠FDB=90°.
∵BE是角平分线,
∴∠ABD=∠FBD.
在△ABD和△FBD中,
∠ABD=∠FBD,
BD=BD,
∠ADB=∠FDB,
∴△ABD≌△FBD(ASA).
∴∠2=∠AFB.
又∠AFB=∠1+∠C,
∴∠2=∠1+∠C.

变式1.1 如图,在$\triangle ABC$中,$BE平分\angle ABC$,$\angle 2= \angle 1+\angle C$.
(1)求证:$AD\perp BE$;
(2)若$\angle ABC= 2\angle 1$,证明:$\angle BAC= 90^{\circ}$.

答案：
(1)延长AD交BC于点F,
则∠AFB=∠C+∠1.
∵∠2=∠1+∠C,
∴∠2=∠AFB.
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC.
又BD=BD,
∴△ABD≌△FBD,
∴∠ADB=∠FBD=90°,
∴AD⊥BE.
(2)
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC.
∵∠ABC=2∠1,
∴∠ABE=∠1.
由
(1)可知∠2+∠ABD=90°,即∠2+∠1=90°,
∴∠BAC=90°.

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$\angle BAC= 90^{\circ}$,$CD平分\angle ACB$,$BE\perp CD$,垂足$E在CD$的延长线上,试探究线段$BE和CD$的数量关系,并证明你的结论.

答案： CD=2BE.理由如下:
如图,延长BE交CA的延长线于点F.
∵CD平分∠ACB,
∴∠FCE=∠BCE.
∵BE⊥CD,
∴∠CEB=∠CEF=90°.
在△CEF和△CEB中,
∠FCE=∠BCE,
CE=CE,
∠CEF=∠CEB=90°,
∴△CEF≌△CEB(ASA),
∴FE=BE.
∵∠DAC=∠CEF=90°,
∴∠ACD+∠F=∠ABF+∠F=90°.
∴∠ACD=∠ABF.
在△ACD和△ABF中,∠ACD=∠ABF,
AC=AB,
∠CAD=∠BAF=90°,
∴△ACD≌△ABF(ASA),
∴CD=BF,
∴CD=2BE.

变式2.1 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$\angle BAC= 90^{\circ}$,点$D在线段BC$上,$\angle EDB= \frac{1}{2}\angle C$,$BE\perp DE$,垂足为$E$,$DE与AB相交于点F$,试探究线段$BE与FD$的数量关系,并证明你的结论.

答案： DF=2BE.理由如下:如图,过点D作DG//AC交AB于H,交BE的延长线于点G,
∴∠BDG=∠C,∠BHD=∠A=90°.
∵∠EDB=$\frac{1}{2}$∠C,
∴∠EDB=∠EDG.
又DE=DE,∠GED=∠BED=90°,
∴△DEG≌△DEB(ASA),
∴BE=GE.
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠ABC=∠C=45°,
∴∠HBD=∠HDB=45°,易证HB=HD,
又∠HFD=∠EFB,∠FHD=∠FEB=90°,
∴∠HDF=∠HBG,
∴△GBH≌△FDH,
∴GB=FD,
∴FD=2BE.