《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$D是边BC$的中点,$P是AD$上任意一点,$PE\perp AB于点E$,$PF\perp AC于点F$。试说明：
(1)$PE = PF$；
(2)$PB = PC$。

答案： 1.
(1)
∵AB=AC,D是边BC的中点，
∴AD平分∠BAC.又PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,
∴PE=PF.
(2)
∵AB=AC,D是边BC的中点，
∴AD⊥BC,
∴AD垂直平分BC.
又P是AD上任意一点，
∴PB=PC.
方法诠释 解答本题需要应用到等腰三角形“三线合一”的性质、角平分线的性质及线段垂直平分线的性质.

2. (2024·山东日照东港区期末)如图,在$\triangle ABC$中,$AC＞BC$,$\angle A = 45^{\circ}$,点$D是AB$边上一点,且$CD = CB$,过点$B作BF\perp CD于点E$,与$AC交于点F$。
(1)求证：$\angle ABF= \frac{1}{2}\angle BCD$；
(2)判断$\triangle BCF$的形状,并说明理由。

答案：
2.
(1)如图,过点C作CG⊥AB于点G,
∴∠DCG+∠CDG=90°.
∵BC=DC,
∴∠BCG=∠DCG=$\frac{1}{2}$∠BCD.
∵BF⊥CD于点E,
∴∠ABF+∠CDG=90°,
∴∠ABF=∠DCG=$\frac{1}{2}$∠BCD.

(2)△BCF是等腰三角形.理由如下:
∵∠A=45°,CG⊥AB,
∴∠ACG=45°.
∵∠ACB=∠ACG+∠BCG,∠BFC=∠A+∠ABF,
∴∠ACB=45°+∠BCG,∠BFC=45°+∠ABF.
∵∠BCG=∠DCG=∠ABF,
∴∠BCF=∠BFC,
∴BC=BF,
∴△BCF是等腰三角形.

3. 如图,在四边形$ABCD$中,$AB// DC$,$AC平分\angle DAB$,$CB\perp AB$,$CE\perp AD交AD的延长线于点E$。
(1)求证：$\triangle ACD$是等腰三角形；
(2)连接$BE$,求证：$AC垂直平分BE$。

答案： 3.
(1)
∵AB//DC,
∴∠DCA=∠CAB.
∵AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠CAB,
∴∠DCA=∠DAC,
∴DA=DC,
∴△ACD是等腰三角形.
(2)
∵AC是∠EAB的平分线,CE⊥AE,CB⊥AB,
∴CE=CB,∠CEA=∠CBA=90°.
又AC=AC,
∴Rt△CEA≌Rt△CBA(HL),
∴AE=AB,
∴点A,C在线段BE的垂直平分线上,
∴AC垂直平分BE.

4. (2024·北京海淀外国语实验学校期中)在$\triangle ABC$中,$BE平分\angle ABC$,交$AC边于点E$。
(1)如图(1),过点$E作DE// BC$,交$AB于点D$,求证：$\triangle BDE$为等腰三角形；
(2)如图(2),若$AB = AC$,$AF\perp BD$,$\angle ACD= \frac{1}{2}\angle ABC$,判断$BF$,$CD$,$DF$的数量关系,并说明理由。

答案：
4.
(1)
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠EBC.
∵DE//BC,
∴∠DEB=∠EBC=∠ABE,
∴BD=ED,
∴△DBE为等腰三角形.
(2)BF=CD+DF.理由如下:
如图,延长CD到点M,使得CM=BD,连接AM,过点A作AN⊥CM于点N.
∵BE平分∠ABC,∠ACD=$\frac{1}{2}$∠ABC,
∴∠ACM=∠ABD.
在△ABD和△ACM中,AB=AC，∠ABD=∠ACM，BD=CM，
∴△ABD≌△ACM(SAS),
∴AD=AM,∠ADB=∠AMC,
∴∠AMD=∠ADM,
∴∠ADF=∠ADN.
∵AN⊥DM,
∴DN=MN.
在△ADF和△ADN中，∠AFD=∠AND=90°，∠ADF=∠ADN，AD=AD，
∴△ADF≌△ADN(AAS),
∴DF=DN=MN.
∵BD=CM,
∴BF=BD - DF=CM - MN=CN=CD+DN=CD+DF,即BF=CD+DF.