《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

1. 手拉手模型 (2025·江苏无锡江阴实验中学月考)在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,点$D是射线CB$上的一动点(不与点$B$,$C$重合),以$AD为一边在AD的右侧作\triangle ADE$,使$AD= AE$,$\angle DAE= \angle BAC$,连接$CE$。
(1)如图(1),当点$D在线段CB$上,且$\angle BAC= 90^{\circ}$时,那么$\angle DCE= $______度；
(2)设$\angle BAC= \alpha$,$\angle DCE= \beta$。
①如图(2),当点$D在线段CB$上,$\angle BAC\neq90^{\circ}$时,请你探究$\alpha与\beta$之间的数量关系,并证明你的结论；
②如图(3),当点$D在线段CB$的延长线上,$\angle BAC\neq90^{\circ}$时,请将图(3)补充完整,写出此时$\alpha与\beta$之间的数量关系并证明。

答案：
1.
(1)90　　[解析]
∵∠BAD+∠DAC=90°,∠DAC+∠CAE=90°,
∴∠BAD=∠CAE.
在△BAD和△CAE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴∠ACE=∠B.
∵∠B+∠ACB=90°,
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°.
(2)①
∵∠BAD+∠DAC=α,∠DAC+∠CAE=α,
∴∠BAD=∠CAE.
在△BAD和△CAE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴∠ACE=∠B.
∵∠B+∠ACB=180°−α,
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=180°−α=β,
∴α+β=180°.
②作出图形如图所示，
∵∠BAD+∠BAE=α,
∠BAE+∠CAE=α,
∴∠BAD=∠CAE.
在△BAD和△CAE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴∠AEC=∠ADB.
∵∠ADE+∠AED+α=180°,∠CDE+∠CED+β=180°,∠CED=∠AEC+∠AED,
∴α=β.

2. (2025·河北承德期末)如图,$AE与BD相交于点C$,$AC= EC$,$BC= DC$,$AB= 8cm$,点$P从点A$出发,沿$A\rightarrow B\rightarrow A方向以2cm/s$的速度运动,点$Q同时从点D$出发,沿$D\rightarrow E方向以1cm/s$的速度运动,当点$P到达点A$时,$P$,$Q$两点同时停止运动,设点$P的运动时间为t\ s$。
(1)当点$P在A\rightarrow B$运动时,$BP= $______(8−2t)cm；(用含$t$的代数式表示)
(2)求证：$AB= ED$；
证明：在△ABC和△EDC中，BC=CD，∠BCA=∠DCE，AC=CE，∴△ABC≌△EDC(SAS),∴AB=ED.
(3)当$P$,$Q$,$C$三点共线时,求$t$的值。
解：根据题意得DQ=tcm,则EQ=(8−t)cm.∵△ABC≌△EDC,∴∠A=∠E,DE=AB=8cm.∵P,Q,C三点共线,∴∠ACP=∠ECQ.在△ACP和△ECQ中，∠A=∠E，AC=EC，∠ACP=∠ECQ，∴△ACP≌△ECQ(ASA),∴AP=EQ.当0≤t≤4时,2t=8−t,解得t=$\frac{8}{3}$.当4＜t≤8时,AP=(16−2t)cm,∴16−2t=8−t,解得t=8.综上所述，当P,C,Q三点共线时,t的值为8或$\frac{8}{3}$.

答案： 2.
(1)(8−2t)cm　[解析]点P从点A出发,沿A→B→A方向以2cm/s的速度运动,点Q同时从点D出发，沿D→E 方向以1cm/s的速度运动，设点P的运动时间为ts.
根据题意得AP=2tcm,则BP=(8−2t)cm.
(2)在△ABC和△EDC中，BC=CD，∠BCA=∠DCE，AC=CE，
∴△ABC≌△EDC(SAS),
∴AB=ED.
(3)根据题意得DQ=tcm,则EQ=(8−t)cm.
∵△ABC≌△EDC,
∴∠A=∠E,DE=AB=8cm.
∵P,Q,C三点共线,
∴∠ACP=∠ECQ.
在△ACP和△ECQ中，∠A=∠E，AC=EC，∠ACP=∠ECQ，
∴△ACP≌△ECQ(ASA),
∴AP=EQ,
∴当0≤t≤4时,2t=8−t,解得t=$\frac{8}{3}$.
当4＜t≤8时,AP=(16−2t)cm,
∴16−2t=8−t,解得t=8,
综上所述，当P,C,Q三点共线时,t的值为8或$\frac{8}{3}$.

3. (2025·广东东莞光明中学期中)如图(1),$AB= 14cm$,$AC= 10cm$,$AC\perp AB$,$BD\perp AB$,垂足分别为$A$,$B$,点$P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B$运动,同时点$Q在射线BD$上运动,它们运动的时间为$t(s)$(当点$P$运动结束时,点$Q$运动随之结束)。
(1)若点$Q的运动速度与点P$的运动速度相等,当$t= 2$时,$\triangle ACP与\triangle BPQ$是否全等？并判断此时线段$PC和线段PQ$的位置关系,请分别说明理由。
(2)如图(2),若“$AC\perp AB$,$BD\perp AB$”改为“$\angle CAB= \angle DBA$”,点$Q的运动速度为xcm/s$,其他条件不变,当点$P$,$Q运动到何处时有\triangle ACP与\triangle BPQ$全等？求出相应的$x和t$的值。

答案： 3.
(1)△ACP≌△BPQ,PC⊥PQ.理由如下:
∵AC⊥AB,BD⊥AB,
∴∠A=∠B=90°.
当t=2时,AP=BQ=2×2=4(cm),
∴BP=AB−AP=10cm,
∴BP=AC.
在△ACP和△BPQ中，AP=BQ，∠A=∠B，AC=BP，
∴△ACP≌△BPQ(SAS),
∴∠C=∠BPQ.
∵∠C+∠APC=90°,
∴∠APC+∠BPQ=90°,
∴∠CPQ=90°,
∴PC⊥PQ.
(2)①若△ACP≌△BPQ,
则AC=BP,AP=BQ,可得10=14−2t,2t=xt,
解得x=2,t=2;
②若△ACP≌△BQP,
则AC=BQ,AP=BP,可得10=xt,2t=14−2t,
解得x=$\frac{20}{7}$,t=$\frac{7}{2}$.
综上所述,当△ACP与△BPQ全等时,x=2,t=2或x=$\frac{20}{7}$,t=$\frac{7}{2}$.