《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

11. 计算下列各题:
(1)(2024·扬州中考)$\frac {x-2}{x+1}÷(x-2)$;
(2)(2024·新疆中考)$\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}+2ab+b^{2}}÷\frac {a-b}{a+b}$.

答案： 11.
(1)$\frac{x-2}{x+1} ÷ (x-2)=\frac{x-2}{x+1} × \frac{1}{x-2}=\frac{1}{x+1}$.
(2)$\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+2ab+b^{2}} ÷ \frac{a-b}{a+b}=\frac{(a+b)(a-b)}{(a+b)^{2}} \cdot \frac{a+b}{a-b}=1$.

12. 教材P151习题T5·变式 先化简,再求值:
$\frac {x^{2}-9}{x^{2}+6x+9}\cdot \frac {3x^{3}+9x^{2}}{x^{2}-3x}$,其中$x= -\frac {1}{3}$.

答案： 12. 原式=$\frac{(x+3)(x-3)}{(x+3)^{2}} \cdot \frac{3x^{3}+9x^{2}}{x^{2}-3x}=\frac{(x+3)(x-3)}{(x+3)^{2}} \cdot \frac{3x^{2}(x+3)}{x(x-3)}=3x$.
当$x= -\frac{1}{3}$时,原式=-1.

13. 已知$a^{2}-a= 0$,求$\frac {a-1}{a+2}\cdot \frac {a^{2}-4}{a^{2}-2a+1}÷\frac {1}{a^{2}-1}$的值.

答案： 13. 原式=$\frac{a-1}{a+2} \cdot \frac{(a-2)(a+2)}{(a-1)^{2}} ÷ \frac{1}{a^{2}-1}=\frac{a-1}{a+2} \cdot \frac{(a-2)(a+2)}{(a-1)^{2}} \cdot (a+1)(a-1)=(a+1) \cdot (a-2)=a^{2}-a-2$.
∵$a^{2}-a= 0$,
∴原式=0-2=-2.

14. 归纳法 (1)计算:
$(a+2)(a^{2}-2a+4)=$$a^{3}+8$,
$(2x+y)(4x^{2}-2xy+y^{2})=$$8x^{3}+y^{3}$;
(2)上面的整式乘法计算结果很简洁,你又发现一个新的乘法公式,请用含$a,b$的字母表示:$(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=a^{3}+b^{3}$;
(3)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是(A);
A. $(a+3)(a^{2}-3a+9)$
B. $(2m+n)(2m^{2}+2mn+n^{2})$
C. $(4-x)(16+4x-x^{2})$
D. $(m-n)(m^{2}+2mn+n^{2})$
(4)利用所学知识以及(2)所得等式,化简代数式$\frac {m^{3}+n^{3}}{m^{2}-mn+n^{2}}÷\frac {m^{2}-n^{2}}{m^{2}-2mn+n^{2}}$.
$\frac{m^{3}+n^{3}}{m^{2}-mn+n^{2}} ÷ \frac{m^{2}-n^{2}}{m^{2}-2mn+n^{2}}$
=$\frac{(m+n)(m^{2}-mn+n^{2})}{m^{2}-mn+n^{2}} \cdot \frac{(m-n)^{2}}{(m+n)(m-n)}=m-n$.

答案： 14.
(1)$a^{3}+8$ $8x^{3}+y^{3}$
(2)$(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=a^{3}+b^{3}$
(3)A
(4)$\frac{m^{3}+n^{3}}{m^{2}-mn+n^{2}} ÷ \frac{m^{2}-n^{2}}{m^{2}-2mn+n^{2}}$
=$\frac{(m+n)(m^{2}-mn+n^{2})}{m^{2}-mn+n^{2}} \cdot \frac{(m-n)^{2}}{(m+n)(m-n)}=m-n$.
知识拓展 乘法的立方和公式:$(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=a^{3}+b^{3}$;乘法的立方差公式:$(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}-b^{3}$.