《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

1. 计算:
(1)$(3x-2y-1)^{2};$
(2)$(m+n)(m-n)-(m-2n)^{2}.$

答案： 1.
(1)原式=[(3x - 2y) - 1]²=(3x - 2y)² - 2(3x - 2y) + 1=9x² - 12xy + 4y² - 6x + 4y + 1.
(2)原式=m² - n² - (m² - 4mn + 4n²)=m² - n² - m² + 4mn - 4n²=4mn - 5n².

变式1.1 运用平方差公式计算:
(1)$9.9×10.1;$ (2)$1003×997;$
(3)$(3+1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)(3^{16}+1).$

答案： 变式1.1
(1)原式=(10 - 0.1)×(10 + 0.1)=100 - 0.01=99.99.
(2)原式=(1000 + 3)×(1000 - 3)=1000000 - 9=999991.
(3)原式=$\frac{1}{2}$×(3 - 1)(3 + 1)(3² + 1)(3⁴ + 1)(3⁸ + 1)(3¹⁶ + 1)=$\frac{1}{2}$(3² - 1)(3² + 1)(3⁴ + 1)(3⁸ + 1)(3¹⁶ + 1)=$\frac{1}{2}$(3⁴ - 1)(3⁴ + 1)(3⁸ + 1)(3¹⁶ + 1)=$\frac{1}{2}$(3⁸ - 1)(3⁸ + 1)(3¹⁶ + 1)=$\frac{1}{2}$(3¹⁶ - 1)(3¹⁶ + 1)=$\frac{1}{2}$(3³² - 1).

2. 比较$a^{2}+b^{2}与2ab$的大小.
尝试:(用“＜”“=”或“＞”填空)
①当$a= -1,b= -2$时,$a^{2}+b^{2}$＞$2ab;$
②当$a= 2,b= 5$时,$a^{2}+b^{2}$＞$2ab;$
③当$a= b= 3$时,$a^{2}+b^{2}$=$2ab.$
验证:若$a,b$取任意实数,$a^{2}+b^{2}与2ab$有怎样的大小关系?试说明理由.
应用:当$a+b= 6,a^{2}+b^{2}= 30$时,请直接写出$a^{2}+9b^{2}-1$的最小值.17

答案： 2.尝试:①＞ [解析]
∵a = -1,b = -2,
∴a² + b² = 5,2ab = 4,
∴a² + b²＞2ab.
②＞ [解析]
∵a = 2,b = 5,
∴a² + b² = 29,2ab = 20,
∴a² + b²＞2ab.
③= [解析]
∵a = b = 3,
∴a² + b² = 18,2ab = 18,
∴a² + b² = 2ab.
验证:a² + b²≥2ab.理由如下:
∵(a - b)²≥0,即a² - 2ab + b²≥0,
∴a² + b²≥2ab.
应用:
∵a + b = 6,a² + b² = 30,
∴(a + b)²=a² + 2ab + b² = 36,
∴ab = 3.根据验证的结论,得a² + 9b²≥6ab,即a² + 9b²≥18,
∴a² + 9b² - 1≥18 - 1,
∴a² + 9b² - 1的最小值为18 - 1 = 17.

变式2.1 [提出问题]利用“图形”能够证明“等式”,如“完全平方公式”“平方差公式”都可以用图形进行证明,那么“图形”能否证明“不等式”呢?请完成以下探究性学习内容.
[自主探究]
用直角边分别为$a和b$的两个等腰直角三角形进行拼图,由图(1)得到图(2).

(1)请你仔细观察图形变化,解决下列问题.
①图(1)中两个三角形的面积分别为____和____,图(2)中长方形$ABCD$的面积为____.(用含$a,b$的字母表示)
②当$a≠b$时,比较大小:$\frac {a^{2}+b^{2}}{2}$____$ab$.(填“＞”或“＜”)
③当$a和b$满足什么条件时,$\frac {a^{2}+b^{2}}{2}与ab$相等?
甲同学说:我可以通过计算进行说明.乙同学说:我可以通过画图进行说明.请你选择其中一人的方法,进行说明.
[知识应用]
(2)已知$m＞0,n＞1$,且$m(n-1)= 9$,利用(1)发现的结论求$m^{2}+(n-1)^{2}$的最小值.

答案：
变式2.1
(1)①$\frac{1}{2}$a² $\frac{1}{2}$b² ab ②＞
③当a = b时,$\frac{a² + b²}{2}$ = ab,
甲同学:当a = b时,$\frac{a² + b²}{2}$ = $\frac{a² + a²}{2}$ = a²,ab = a·a = a²,
∴当a = b时,$\frac{a² + b²}{2}$ = ab;
乙同学:

如图,当a = b时,$\frac{a² + b²}{2}$ = ab.
(2)由
(1)得$\frac{m² + (n - 1)²}{2}$≥m(n - 1),
∴$\frac{m² + (n - 1)²}{2}$≥9,
∴m² + (n - 1)²≥18,
∴m² + (n - 1)²的最小值为18.