《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

10. (2025·广东梅州五华期末)如图,在$△ABC$中,D是BC延长线上一点,满足$CD= AB$,过点C作$CE// AB且CE= BC$,连接DE并延长,分别交AC,AB于点F,G.
(1)求证:$△ABC\cong △DCE;$
(2)若$∠B= 60^{\circ },∠D= 22^{\circ }$,求$∠AFG$的度数.

答案：
(1)
∵CE//AB,
∴∠B=∠DCE.在△ABC与△DCE中,$\left\{\begin{array}{l} BC=CE,\\ ∠B=∠DCE,\\ AB=CD,\end{array}\right. $
∴△ABC≌△DCE(SAS).
(2)
∵△ABC≌△DCE,∠B=60°,∠D=22°,
∴∠ECD=∠B=60°,∠A=∠D=22°.
∵CE//AB,
∴∠ACE=∠A=22°.
∵∠CED=180°-∠D-∠ECD=180°-22°-60°=98°,
∴∠AFG=∠DFC=∠CED-∠ACE=98°-22°=76°.

11. (2025·重庆大足区期末)如图,在$Rt△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,在$Rt△ECD$中,$∠ECD= 90^{\circ },BC= CD,∠BAC= ∠DEC.$
(1)求证:$AB= DE;$
(2)连接AD,连接BE交AC于点F,若点F恰好是BE的中点,求证:$AD= 2CF.$

答案：

(1)
∵∠ACB=90°,∠ECD=90°,
∴∠ACB=∠ECD.在△ACB和△ECD中,$\left\{\begin{array}{l} ∠ACB=∠ECD,\\ ∠BAC=∠DEC,\\ BC=CD,\end{array}\right. $
∴△ACB≌△ECD(AAS).
∴AB=DE.
(2)如图,过点E作EG//CB交AC于点G,
∴∠EGC=∠ACB.
∵F是BE的中点,
∴EF=BF. 在△EGF和△BCF中,$\left\{\begin{array}{l} ∠EGF=∠BCF,\\ ∠EFG=∠BFC,\\ EF=BF,\end{array}\right. $
∴△EGF≌△BCF(AAS),
∴EG=BC,GF=CF.
∴GC=2CF.
∵DC=BC,
∴EG=CD.
∵EG//CB,
∴∠GEC+∠BCE=180°.
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°,∠ECD=90°,
∴∠ACB+∠ECD=∠ACD+∠DCB+∠ECD=∠ACD+∠ECB=180°,
∴∠GEC=∠ACD.
∵△ACB≌△ECD,
∴AC=EC.在△GEC和△DCA中,$\left\{\begin{array}{l} EG=CD,\\ ∠GEC=∠ACD,\\ EC=AC,\end{array}\right. $
∴△GEC≌△DCA(SAS).
∴GC=AD.
∵GC=2CF,
∴AD=2CF.

12. (2025·安徽合肥瑶海区期末)如图(1),在$△ABC$中,D为BC上一点,且$∠ADC= 60^{\circ },∠ACB和∠CAD$的平分线CF,AE交于点M,CF与AD交于点G.
(1)求$∠AMC$的度数;
(2)连接BM,交AD于点H,若$∠BME= 60^{\circ }$,如图(2),求证:$△AHM\cong △BCM.$

答案：
(1)
∵D为BC上一点,且∠ADC=60°,
∴∠ACD+∠CAD=180°-∠ADC=120°.
∵∠ACB和∠CAD的平分线CF,AE交于点M,
∴∠MCA=∠MCD=$\frac{1}{2}$∠ACD,∠MAC=∠MAD=$\frac{1}{2}$∠CAD,
∴∠AMF=∠MCA+∠MAC=$\frac{1}{2}$(∠ACD+∠CAD)=60°,
∴∠AMC=180°-∠AMF=120°,
∴∠AMC的度数是120°.
(2)由
(1)得∠AMF=60°,∠AMC=120°,
∴∠CME=∠AMF=60°,∠FME=∠AMC=120°,
∵∠BME=60°,
∴∠BMC=∠BME+∠CME=120°,∠HMF=∠FME-∠BME=60°,
∴∠AMH=∠AMF+∠HMF=120°,
∴∠AMH=∠BMC,∠AMC=∠BMC.
∵CF平分∠ACB,AE平分∠CAD,
∴∠ACM=∠BCM,∠CAM=∠HAM.在△ACM和△BCM中,$\left\{\begin{array}{l} ∠ACM=∠BCM,\\ CM=CM,\\ ∠AMC=∠BMC,\end{array}\right. $
∴△ACM≌△BCM(ASA),
∴AM=BM,∠CAM=∠CBM,
∴∠HAM=∠CBM.在△AHM和△BCM中,$\left\{\begin{array}{l} ∠HAM=∠CBM,\\ AM=BM,\\ ∠AMH=∠BMC,\end{array}\right. $
∴△AHM≌△BCM(ASA).