《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

1. (2025·湖南师大附中博才实验学校期末)如图,在等边三角形 ABC 中,点 D,E 分别是 BC,AC 的中点,点 P 是 AD 上的一个动点,当 $ PC + PE $ 最小时,$ ∠CPE $ 的度数是(D).

A.$ 22.5^{\circ} $
B.$ 30^{\circ} $
C.$ 45^{\circ} $
D.$ 60^{\circ} $

答案： D　[解析]等边三角形ABC中,点D,E分别是BC,AC的中点,如图,连接BE,与AD交于点P,
∴AD⊥BC,BE⊥AC,∠BCE=60°.
∴PC=PB,
∴PE+PC=PB+PE≥BE,
即BE长就是PE+PC的最小值.
∵△ABC是等边三角形,BE⊥AC,
∴∠BEC=90°,
∴∠EBC=30°.
∵PB=PC,
∴∠PCB=∠PBC=30°.
∴∠CPE=∠PCB+∠PBC=30°+30°=60°.
故选D.

2. (2024·福建福州一中月考)如图,在四边形 ABCD 中,$ ∠BAD = 105^{\circ},∠B = ∠D = 90^{\circ} $,在 BC,CD 上分别找一个点 M,N,使 $ △AMN $ 的周长最小,则 $ ∠AMN + ∠ANM = $150$ ^{\circ} $.

答案： 150　[解析]如图,作点A关于BC和CD的对称点A',A",连接A'A",交BC于点M,交CD于点N,则A'A"即为△AMN的周长最小值.
∵∠DAB=105°,
∴∠A'+∠A"=180°−∠BAD=180°−105°=75°.
∵∠A'=∠MAA',∠NAD=∠A",且∠A'+∠MAA'=∠AMN,∠NAD+∠A"=∠ANM,
∴∠AMN+∠ANM=∠A'+∠MAA'+∠NAD+∠A"=2(∠A'+∠A")=2×75°=150°.

3. 如图,在 $ △ABC $ 中,$ AB = AC,∠A = 45^{\circ} $,E 是 AC 上的一点,$ ∠ABE = \frac{1}{3}∠ABC $,过点 C 作 $ CD⊥AB $ 于点 D,交 BE 于点 P.
(1) 直接写出图中除 $ △ABC $ 外的所有等腰三角形;
(2) 求证:$ BD = \frac{1}{2}PC $;
(3) 点 H,G 分别为边 AC,BC 上的动点,当 $ △DHG $ 周长取最小值时,求 $ ∠HDG $ 的度数.

答案：
(1)△ADC,△CPE,△BCE都是等腰三角形.理由如下:
∵AB=AC,∠A=45°,
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$×(180°−45°)=67.5°.
∵∠ABE=$\frac{1}{3}$∠ABC,
∴∠ABE=22.5°.
∴∠CBE=45°,
∴∠BEC=180°−∠CBE−∠ACB=67.5°,
∴∠BEC=∠ACB,
∴BC=BE,即△BCE为等腰三角形.
∵CD⊥AB,
∴∠ADC=∠CDB=90°.
∴∠ACD=90°−∠A=45°,∠A=∠ACD=45°,
∴DA=DC,
∴△ADC是等腰三角形.
∵∠CPE=∠BPD=90°−∠ABE=67.5°,
∴∠CEP=180°−45°−67.5°=67.5°,
∴∠CPE=∠CEP=67.5°,
∴CP=CE,
∴△CPE是等腰三角形.
(2)如图
(1),在线段DA上取一点H,使得DH=DB,连接CH.
由
(1)知∠ABC=∠ACB=67.5°.
∵CD⊥BH,DB=DH,
∴CB=CH.
∴∠CBH=∠CHB=67.5°.
由
(1)知△BCE是等腰三角形,
∴∠BCE=∠CEB=67.5°,
∴∠CBH=∠CHB=∠BCE=∠BEC=67.5°.
∵BC=CB,
∴△BCH≌△CBE(AAS),
∴BH=EC,
∴BD=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{1}{2}$PC.
(3)如图
(2),作点D关于直线BC的对称点M,作点D关于直线AC的对称点F，连接FM交BC于点G，交AC于点H,此时△DGH的周长最小.
∵CD⊥AB,由
(1)知∠ABC=67.5°,
∴∠BCD=22.5°.
∵DM⊥CB,
∴∠CDM=90°−∠BCD=90°−22.5°=67.5°.
∵DA=DC,DF⊥AC,
∴∠CDF=$\frac{1}{2}$∠CDA=45°.
∴∠MDF=45°+67.5°=112.5°,
∴∠M+∠F=180°−112.5°=67.5°.
∵GD=GM,HF=HD,
∴∠M=∠GDM,∠F=∠HDF.
∵∠DGH=∠M+∠GDM=2∠M,∠DHG=∠F+∠HDF=2∠F,
∴∠DGH+∠DHG=2(∠M+∠F)=135°,
∴∠GDH=180°−(∠DGH+∠DHG)=45°.

4. (2025·江苏扬州梅岭中学期末)如图,点 M,N 分别是边 OA,OB 上的定点,点 P,Q 分别是边 OB,OA 上的动点,记 $ ∠MPQ = α,∠PQN = β $,当 $ MP + PQ + QN $ 最小时,$ β - α = 40^{\circ} $,则 $ ∠AOB $ 的度数为(A).

A.$ 20^{\circ} $
B.$ 40^{\circ} $
C.$ 10^{\circ} $
D.$ 60^{\circ} $

答案： A　[解析]如图,作点M关于OB的对称点E,作点N关于OA的对称点F,则OB垂直平分ME,OA垂直平分NF,
∴MP=EP,QF=QN.
∴MP+PQ+QN=EP+PQ+QF≥EF,此时,EF为MP+PQ+QN的最小值.
设∠AOB=x.
∵MP=EP,QF=QN,
∴∠E=∠EMP=$\frac{1}{2}$α,∠F=∠QNF=$\frac{1}{2}$β.
∴∠FPN=∠OPE=90°−$\frac{1}{2}$α,∠OQE=∠FQA=90°−$\frac{1}{2}$β.
∵∠O+∠OQE=∠FPB,即x+90°−$\frac{1}{2}$β=90°−$\frac{1}{2}$α,
∴x=$\frac{1}{2}$β−$\frac{1}{2}$α=20°.
故选A.

5. (2025·湖南湘西州溶江中学期中)如图,已知 $ ∠AOB = 24^{\circ} $,OP 平分 $ ∠AOB,OP = 1 $,C 在 OA 上,D 在 OB 上,E 在 OP 上. 当 $ CP + CD + DE $ 取最小值时,此时 $ ∠PCD $ 的度数为(D).

A.$ 36^{\circ} $
B.$ 48^{\circ} $
C.$ 60^{\circ} $
D.$ 72^{\circ} $

答案： D　[解析]如图,作点P关于OA的对称点P',作射线OT,使得∠BOT=∠BOP,作P'H⊥OT于点H,交OA 于点C',交OB于点D',在OT上截取线段OE',使得OE'=OE,则DE=D'E'.
由作图可知CP=CP',DE=D'E',∠BOT=∠POB=$\frac{1}{2}$∠AOB=12°.
∵CP+CD+DE=P'C+CD+DE'≥P'H,
∴当点C,D在线段P'H上时,CP+CD+DE的值最小，此时∠AC'P'=∠OC'H=∠PC'A=90°−24°−12°=54°,
∴∠PC'D'=180°−54°−54°=72°.
故选D.

6. (2025·天津南开区期末)直线 $ l_1,l_2 $ 表示一条河的两岸,且 $ l_1// l_2 $,若村庄 P 和村庄 Q 在这条河的两岸. 现要在这条河上建一座桥 EF(桥 EF 与河的两岸 $ l_1,l_2 $ 垂直),使得从村庄 P 经桥 EF 过河到村庄 Q 的路径 PEFQ 最短,即 $ PE + EF + FQ $ 最小. 则下列图中满足条件的是(A).

答案： A