《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

8. 配方法是一种解决数学问题的重要方法,不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题.
例如:分解因式$x^{2}+2x-3$.
原式$=x^{2}+2x+1-1-3= (x^{2}+2x+1)-4= (x+1)^{2}-4= (x+1+2)(x+1-2)= (x+3)(x-1)$;
例如:求代数式$x^{2}+4x+6$的最小值.
原式$=x^{2}+4x+4-4+6= x^{2}+4x+4+2= (x+2)^{2}+2$.
$\because (x+2)^{2}≥0$,
$\therefore当x= -2$时,$x^{2}+4x+6$有最小值是 2.
解决下列问题:
(1)若多项式$x^{2}+6x+m$是一个完全平方式,则常数$m$的值为9;
(2)分解因式:$x^{2}+6x-16$;$\because x^{2}+6x-16=x^{2}+6x+9-9-16=(x+3)^{2}-25=(x+8)(x-2)$
(3)若$x＞-1$,比较:$x^{2}+6x+5$＞0(填“＞”“＜”或“=”),并说明理由;理由:$\because x＞-1,\therefore x+1＞0,x+5＞4,\therefore x^{2}+6x+5=x^{2}+6x+9-9+5=(x+3)^{2}-4=(x+1)(x+5)＞0$
(4)求代数式$-x^{2}-6x-5$的最大或最小值.$\because$原式$=-(x^{2}+6x+9-9)-5=-(x+3)^{2}+4\leqslant4$,$\therefore$代数式$-x^{2}-6x-5$的最大值为4

答案：
(1)9
(2)$\because x^{2}+6x-16=x^{2}+6x+9-9-16=(x+3)^{2}-25=(x+8)(x-2)$.
(3)$＞$ 理由:$\because x＞-1,\therefore x+1＞0,x+5＞4,\therefore x^{2}+6x+5=x^{2}+6x+9-9+5=(x+3)^{2}-4=(x+1)(x+5)＞0$.
(4)$\because$原式$=-(x^{2}+6x+9-9)-5=-(x+3)^{2}+4\leqslant4$,$\therefore$代数式$-x^{2}-6x-5$的最大值为4.归纳总结 本题考查了因式分解的应用,理解配方法及非负数的性质是解题的关键.

9. (2025·重庆期中)19 世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式$x^{4}+4$的方法:他抓住了该式只有两项,而且属于平方和$(x^{2})^{2}+2^{2}$的形式,要使用公式法就必须添一项$4x^{2}$,随即将此项$4x^{2}$减去,即可得$x^{4}+4= x^{4}+4x^{2}+4-4x^{2}= (x^{2}+2)^{2}-4x^{2}= (x^{2}+2)^{2}-(2x)^{2}= (x^{2}+2+2x)(x^{2}+2-2x)$,人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法,就把它叫作“热门定理”.阅读材料,完成下列各题.
(1)分解因式:$m^{4}+64$;
(2)分解因式:$m^{2}-10m+16$.

答案：
(1)原式$=(m^{2})^{2}+8^{2}=(m^{2})^{2}+2×m^{2}×8+8^{2}-2×m^{2}×8=(m^{2}+8)^{2}-16m^{2}=(m^{2}+8)^{2}-(4m)^{2}=(m^{2}+8-4m)(m^{2}+8+4m)$.
(2)原式$=m^{2}-10m+25-9=(m-5)^{2}-9=(m-5)^{2}-3^{2}=(m-5+3)(m-5-3)=(m-2)(m-8)$.