《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

9. 面积法 我们已经学习过角平分线的性质定理,即角平分线上的点到角两边的距离相等.
如图,已知$\triangle ABC$的角平分线 BD 交边 AC 于点 D.
(1)求证:$\frac {S_{\triangle BCD}}{S_{\triangle BAD}}= \frac {BC}{AB}$;
(2)求证:$\frac {BC}{AB}= \frac {CD}{AD}$;
(3)如果$BC= 4,AB= 6,AC= 5$,那么$CD= $____.

答案：

(1)如图,过点D作DF⊥BC于点F,DH⊥AB于点H.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵BD是△ABC的角平分线,
∴DF=DH,
∴$\frac{S_{\triangle BCD}}{S_{\triangle BAD}}$=$\frac{\frac{1}{2}BC·DF}{\frac{1}{2}AB·DH}$=$\frac{BC}{AB}$.
(2)如图,作BE⊥CA于点E.
∴$\frac{S_{\triangle BCD}}{S_{\triangle BAD}}$=$\frac{\frac{1}{2}CD·BE}{\frac{1}{2}AD·BE}$=$\frac{CD}{AD}$,
∵$\frac{S_{\triangle BCD}}{S_{\triangle BAD}}$=$\frac{BC}{AB}$,
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{CD}{AD}$.
(3)2 [解析]
∵$\frac{BC}{AB}$=$\frac{CD}{AD}$,BC=4,AB=6,
∴$\frac{CD}{AD}$=$\frac{4}{6}$=$\frac{2}{3}$,
∴$\frac{CD}{AC}$=$\frac{2}{5}$,
∴CD=$\frac{2}{5}$AC=$\frac{2}{5}$×5=2.

10. (2024·湖北黄冈期末)如图(1),在$\triangle ABC$中,$∠ACB$是直角,$∠B= 60^{\circ }$,AD,CE 分别是$∠BAC,∠BCA$的平分线,AD,CE 相交于点 F,且$FG⊥AB$于点 G,$FH⊥BC$于点 H.
(1)求证:$∠BEC= ∠ADC$.
(2)请你判断 FE 与 FD 之间的数量关系,并证明.
(3)如图(2),在$\triangle ABC$中,如果$∠ACB$不是直角,$∠B= 60^{\circ }$,AD,CE 分别是$∠BAC,∠BCA$的平分线,AD,CE 相交于点 F. 请问,你在(2)中所得结论是否仍然成立? 若成立,请证明;若不成立,请说明理由.

答案：

(1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,
∴∠BAC=30°.
∵AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线,
∴∠DAC=∠DAB=$\frac{1}{2}$∠BAC=15°,
∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°,
∴∠CDA=∠BAD+∠ABD=75°,∠BEC=∠BAC+∠ECA=75°,
∴∠BEC=∠ADC.
(2)FE=FD.证明如下:
如图
(1),连接BF,
∵F是角平分线交点,
∴BF也是角平分线,
∴HF=FG,∠DHF=∠EGF=90°.
由
(1)得∠HDF=∠GEF.
在△DHF和△EGF中,$\left\{\begin{array}{l} ∠HDF=∠GEF,\\ ∠DHF=∠EGF,\\ HF=GF,\end{array}\right. $
∴△DHF≌△EGF(AAS),
∴FE=FD.

(3)成立.理由如下:
如图
(2),过点F作FM⊥BC于点M,作FN⊥AB于点N,连接BF.
∵F是角平分线交点，
∴BF也是角平分线，
∴MF=FN,∠DMF=∠ENF=90°.
∵∠ABC=60°,
∴∠MFN=180°-∠ABC=120°.
∵∠CFA=180°-(∠FAC+∠FCA)=180°-$\frac{1}{2}$(∠BAC+∠ACB)=180°-$\frac{1}{2}$(180°-∠ABC)=180°-$\frac{1}{2}$×(180°-60°)=120°,
∴∠DFE=∠CFA=∠MFN=120°.
又∠MFN=∠MFD+∠DFN,
∠DFE=∠DFN+∠NFE,
∴∠DFM=∠EFN.
在△DMF和△ENF中,$\left\{\begin{array}{l} ∠DMF=∠ENF,\\ MF=NF,\\ ∠DFM=∠NFE,\end{array}\right. $
∴△DMF≌△ENF(ASA),
∴FE=FD.