《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

变式 2.1 如图,已知$\triangle ABC$为等腰直角三角形,其中$\angle BAC = 90^{\circ}$,$AB = AC$,点$D为\triangle ABC$外一点,且$\angle BDA = 45^{\circ}$,$BD = 4$,求$\triangle BCD$的面积.

答案：
变式2.1 如图,过点 A 作 AE⊥AD 交 BD 于点 E,连接 CE,
则∠DAE=90°.

∵∠ADB=45°,
∴∠DEA=45°,
∴AD=AE.
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠DAE+∠EAB=∠BAC+∠EAB,
即∠DAB=∠EAC,
∴△ADB≌△AEC(SAS),
∴EC=DB=4,∠DBA=∠ECA.
∵∠ECA+∠BCE=45°,
∴∠DBA+∠BCE=45°.
又∠ABC=45°,
∴∠BEC=90°,即 CE⊥BD,
∴S△BCD=$\frac{1}{2}$·CE·BD=$\frac{1}{2}$×4×4=8.

变式 2.2 如图,$\triangle ABC$为等腰直角三角形,$AC = BC$,$\angle ACB = 90^{\circ}$,若$\angle CDB = 45^{\circ}$,$AE// BD$,$CE\perp CD$.求证:$AE = BD$.

答案：
变式2.2 延长 DC 交 AE 于 F,连接 BF,如图.

∵AE//BD,
∴∠EFC=∠BDC=45°.
∵EC⊥CD,
∴∠CEF=∠CFE=45°,
∴CE=CF.
∵∠ECF=∠ACB=90°,
∴∠ACE=∠BCF.
∵AC=BC,
∴△CEA≌△CFB(SAS),
∴AE=BF,∠BFC=∠E=45°=∠BDC,
∴BF=BD,
∴AE=BD.

变式 2.3 在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,点$D是\triangle ABC$外一点,$AC = BC$,$\angle BDC = 45^{\circ}$,连接$AD$.求证:$\angle BDA = 90^{\circ}$.

答案：
变式2.3 如图,作 CE⊥CD,交 BD 于 E,
∴∠DCE=90°=∠ACB,
∴∠ACD=∠BCE.
∵∠DCE=90°,∠CDE=45°,
∴∠CDE=∠CED=45°,
∴CD=CE,∠CEB=135°.
∵AC=BC,
∴△CDA≌△CEB(SAS),
∴∠CDA=∠CEB=135°,
∴∠ADB=135° - 45°=90°.

3. (2024·宜宾中考)如图,点$D$,$E分别是等边三角形ABC边BC$,$AC$上的点,且$BD = CE$,$BE与AD交于点F$.求证:$AD = BE$.

答案： 3.
∵△ABC 为等边三角形,
∴∠ABD=∠C=60°,AB=BC.
在△ABD 和△BCE 中,{AB=BC,∠ABD=∠C,BD=CE}
∴△ABD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE.

变式 3.1 如图,$AD是等边三角形ABC$的中线,$E$,$F分别为边AC和AD$上两个动点,且$AF = CE$.当$BE + CF$最小时,求$\angle BEC$的度数.

答案：
变式3.1 如图
(1),作 CH⊥BC,且 CH=BC,连接 BH 交 AC 于 M,连接 EH.
∵AD 是等边三角形 ABC 的中线,
∴AC=BC,∠DAC=30°,
∴AC=CH.
∵∠BCH=90°,∠ACB=60°,
∴∠ACH=90° - 60°=30°,
∴∠DAC=∠ACH=30°.
∵AF=CE,
∴△AFC≌△CEH(SAS),
∴CF=EH,BE+CF=BE+EH,
∴当 M 与 E 重合,即 E 为 AC 与 BH 的交点时,如图
(2),
BE+CF 的值最小,
最短路径的实质是两点之间线段最短
此时∠EBC=45°,∠ECB=60°,
∴∠BEC=180° - 45° - 60°=75°.

变式 3.2 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle BAC = 65^{\circ}$,$BD是AC$边上的高,点$E$,$F分别在AB$,$BD$上,且$AE = BF$,当$AF + CE$的值最小时,求$\angle AFD$的度数.

答案：
变式3.2 如图,过点 A 作 AG⊥AC,使得 AG=AB,连接 GE.
∵BD⊥AC,GA⊥AC,
∴BD//AG,
∴∠ABF=∠GAE.
∵AG=BA,AE=BF,
∴△AGE≌△BAF(SAS),
∴AF=GE,
∴AF+CE=GE+CE,
∴当 G,E,C 三点共线时,AF+CE 的最小值等于 CG 的长,此时,AG=AC,∠GAC=90°,即△ACG 是等腰直角三角形,
∴∠G=45°=∠BAF.
∵Rt△ABD 中,∠ABD=90° - 65°=25°,
∴∠AFD=∠ABF+∠BAF=25°+45°=70°.