《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

12. 三个连续偶数,若中间的一个数为$x$,则这三个连续偶数的积为x³-4x。

答案： x³-4x

13. (1)(2025·山东德州庆云期末)同学在计算$4(5+1)(5^{2}+1)$时,把4写成$(5-1)$后,发现可以连续运用平方差公式计算：$4(5+1)(5^{2}+1)= (5-1)(5+1)(5^{2}+1)= (5^{2}-1)(5^{2}+1)= 25^{2}-1= 624$。请借鉴该同学的经验,计算：$(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2^{2}})(1+\frac{1}{2^{4}})(1+\frac{1}{2^{8}})(1+\frac{1}{2^{16}})(1+\frac{1}{2^{31}})= $2；
(2)(2025·上海静安区期中)计算：$(2+1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)= $$2^{16}-1$。

答案：
(1)2
(2)2¹⁶-1 解析：(2+1)(2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1)=(2-1)(2+1)(2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1)=(2²-1)(2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1)=(2⁴-1)(2⁴+1)(2⁸+1)=(2⁸-1)(2⁸+1)=2¹⁶-1,

14. (四川绵阳南山中学自主招生)已知$(39+\frac{8}{13})\cdot(40+\frac{5}{13})= a-b$,若$a$是整数,$0＜b＜1$,则$a= $1600。

答案： 1600 解析：
∵39+$\frac{8}{13}$=40-1+$\frac{8}{13}$=40-$\frac{5}{13}$,
∴(39+$\frac{8}{13}$)(40+$\frac{5}{13}$)=(40-$\frac{5}{13}$)(40+$\frac{5}{13}$)=1600-$\frac{25}{169}$=a-b.
∵a是整数,0＜b＜1,则a=1600.

15. 计算：
(1)$(a+2b)(a-2b+1)$；
(2)$(3x^{2}+2y^{3})(-3x^{2}+2y^{3})$。

答案：
(1)原式=(a+2b)[(a-2b)+1]=(a+2b)(a-2b)+(a+2b)=a²-4b²+a+2b.
(2)原式=(2y³)²-(3x²)²=4y⁶-9x⁴.

16. 用乘法公式计算：$(a-2b+3c)(a+2b-3c)$。

答案： (a-2b+3c)(a+2b-3c)=[a-(2b-3c)][a+(2b-3c)]=a²-(2b-3c)²=a²-4b²+12bc-9c².

17. 在化简整式$(x-2)■(x+2)+▲$中,“■”表示运算符号“-”“×”中的某一个,“▲”表示一个整式。
(1)计算$(x-2)-(x+2)+(-2+y)$；
(2)若$(x-2)(x+2)+▲= 3x^{2}+4$,求出▲表示的整式；
(3)已知$(x-2)■(x+2)+▲$的计算结果是二次单项式,当▲是常数项时,直接写出■表示的符号及▲的值。

答案：
(1)原式=x-2-x-2-2+y=y-6.
(2)根据题意,得Δ=3x²+4-(x-2)(x+2)=3x²+4-(x²-4)=3x²+4-x²+4=2x²+8.
(3)
∵计算结果是二次单项式,
∴■表示的运算符号是“×”,
∴原式=(x-2)(x+2)+Δ=x²-4+Δ.
∵计算结果是单项式,且Δ为常数项,
∴Δ的值为4.

18. (2025·甘肃武威凉州区期末)已知：整式$A= 2t+3$,$B= 2t-3$,$t$为任意有理数。
(1)$A\cdot B+13$的值可能为负数吗？请说明理由。
(2)请通过计算说明：当$t$是整数时,$A^{2}-B^{2}$的值一定能被24整除。

答案：
(1)A·B+13的值不可能为负数,理由如下：
∵A·B+13=(2t+3)(2t-3)+13=4t²-9+13=4t²+4,4t²≥0,
∴4t²+4＞0,
∴A·B+13的值不可能为负数.
(2)A²-B²=(2t+3)²-(2t-3)²=24t,
∵t是整数,
∴24t一定能被24整除,
∴当t是整数时,A²-B²的值一定能被24整除.