《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

10. (2025·江苏扬州高邮期末)如图,已知AD平分$\triangle ABC中的\angle BAC$,过点D作$BD\perp AD$,点E是边AC的中点,连接BE,CD,若$DC = AC = 4$,则图中两个阴影部分面积之差的最大值为( ).

A.6
B.8
C.10
D.12

答案：
B　[解析]如图,延长BD交AC于点H,设AD交BE于点O
　　　　　　　
∵AD⊥BD,
∴∠ADB=∠ADH=90°,
∴∠ABD+∠BAD=90°,∠H+∠HAD=90°.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠HAD,
∴∠ABD=∠H,
∴AB=AH.
∵AD⊥BH,
∴BD=DH.
∵DC=CA,
∴∠CDA=∠CAD,
∵∠CAD+∠H=90°,∠CDA+∠CDH=90°,
∴∠CDH=∠H,
∴CD=CH=AC.
∵AE=EC,
∴S△ABE=$\frac{1}{2}$S△ABH,S△CDH=$\frac{1}{2}$S△ABH,
∴S△OBD−S△AOE=S△ADB−S△ABE=S△ADH−S△CDH=S△ACD,
∵AC=CD=4,
∴当DC⊥AC时,△ACD的面积最大，最大面积为$\frac{1}{2}$×4×4=8,
∴图中两个阴影部分面积之差的最大值为8.故选B.

11. 中考新考法 新定义问题定义:等腰三角形的顶角与一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”,记作k,若等腰三角形ABC中,$\angle A = 40^{\circ}$,则它的特征值$k = $$\frac{5}{2}$或$\frac{4}{7}$.

答案： $\frac{5}{2}$或$\frac{4}{7}$　[解析]当∠A为顶角时，底角∠B=70°,此时,特征值k=$\frac{40}{70}$=$\frac{4}{7}$;
当∠A为底角时，顶角为100°,此时，特征值k=$\frac{100}{40}$=$\frac{5}{2}$.

12. (湖南长沙长郡中学自主招生)已知点$A(1,1)$在平面直角坐标系中,在x轴上确定点P,使$\triangle AOP$为等腰三角形,则符合条件的点P共有____个.

答案：
4　[解析]分三种情况:
注意该点在x轴上，若在坐标轴上,则情况更多
如图,当AO=OP
时,与x轴有2个交
点,分别为P₁,P₃;
当AO=AP时,
　　　　　　　　　　　
与x轴有1个交点，
为P₄;
当AP=OP时，
与x轴有1个交点
为P₂,
故符合条件的点有4个.

13. (2025·北京西城区期中)如图,在$\triangle ABC$中,AD平分$\angle BAC$,E是BC上一点,$BE = CD$,$EF// AD$交AB于点F,交CA的延长线于点P,$CH// AB$交AD的延长线于点H.
(1)求证:$\triangle APF$是等腰三角形;
(2)猜想AB与PC的大小有什么关系,证明你的猜想.

答案：

(1)如图,
∵EF//AD,
∴∠1=∠4,∠2=∠P.
∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2,
∴∠4=∠P,
∴AF=AP,即△APF是等腰三角形.
(2)AB=PC.理由如下:
∵CH//AB,
∴∠5=∠B,
∠H=∠1.
∵EF//AD,
∴∠1=∠3,
∴∠H=∠3.
在△BEF和△CDH中,
　　　　　　　　　　　　　　　　
∠B=∠5,
∠3=∠H,
BE=CD,
∴△BEF≌△CDH(AAS),
∴BF=CH.
∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2,
∴∠2=∠H,
∴AC=CH,
∴AC=BF.
∵AB=AF+BF,PC=AP+AC,
∴AB=PC.

14. (2025·陕西延安延长期末)如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,D为BC的中点,连接AD,AC的垂直平分线EF交AB于点E,交AD于点O,交AC于点F,连接OB,OC.
(1)求证:$\triangle AOB$是等腰三角形;
(2)若$\angle BAD = 18^{\circ}$,求$\angle AEF$的度数.

答案：
(1)
∵AB=AC,D为BC的中点,
∴AD是BC的垂直平分线,
∴OB=OC.
∵EF是AC的垂直平分线,
∴OA=OC,
∴OA=OB,
∴△AOB是等腰三角形
(2)
∵EF⊥AC,
∴∠AFE=90°.
∵AB=AC,D为BC的中点，
∴AD平分∠BAC,
∴∠EAF=2∠BAD=36°,
∴∠AEF=90°−∠EAF=54°.

15. (2025·广东东莞期末)如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,D是BC边的中点,连接AD,BE平分$\angle ABC$交AC于点E.
(1)若$\angle C = 40^{\circ}$,求$\angle BAD$的度数;
(2)过点E作$EF// BC$交AB于点F,求证:$\triangle BEF$是等腰三角形;
(3)若BE平分$\triangle ABC$的周长,$\triangle AEF$的周长为15,求$\triangle ABC$的周长.

答案：
(1)
∵AB=AC,
∴∠C=∠ABC.
∵∠C=40°,
∴∠ABC=40°.
∵AB=AC,D为BC的中点，
∴AD⊥BC,
∴∠BDA=90°,
∴∠BAD=90°−∠ABC=90°−40°=50°.
(2)
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠EBC.
∵EF//BC,
∴∠EBC=∠BEF,
∴∠EBF=∠FEB,
∴BF=EF,
∴△BEF是等腰三角形,
(3)
∵△AEF的周长为15,
∴AE+AF+EF=15.
∵BF=EF,
∴AE+AF+BF=15,即AE+AB=15.
∵BE平分△ABC的周长,
∴AE+AB=BC+CE=15,
∴△ABC的周长为AE+AB+BC+CE=15+15=30.