《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

8. (2024·山东泰安宁阳期末)根据下列已知条件,能画出唯一的△ABC的是(C).
A.∠C= 90°,AB= 6
B.AB= 4,BC= 3,∠A= 30°
C.∠A= 60°,∠B= 45°,AB= 4
D.AB= 3,BC= 4,CA= 8

答案： C　[解析]A.如图,Rt△ACB和
Rt△ADB的斜边都是AB,所以可
以画出不止一个三角形,故本选项
不符合题意;B.AB=4,BC=3,∠A=30°,不符合全等三角形的判
定定理，不能画出唯一的三角形,故
本选项不符合题意;C.∠A=60°,
∠B=45°,AB=4,符合全等三角形的判定定理ASA,能画出唯一的三角形，故本选项符合题意;D.3+4＜8,不符合三角形的三边关系定理，不能画出三角形，故本选项不符合题意.故选C;

9. (2025·江苏泰州姜堰区期末)如图所示,已知P是AD上的一点,∠ABP= ∠ACP,请再添加一个条件:∠BAP=∠CAP(答案不唯一),使得△ABP≌△ACP.

答案： ∠BAP=∠CAP(答案不唯一)
[解析]若添加∠BAP=∠CAP,且∠ABP=∠ACP,
AP=AP,由"AAS"可证△ABP≌△ACP;
若添加∠APB=∠APC,且∠ABP=∠ACP,AP=AP,由“AAS"可证△ABP≌△ACP;
若添加∠BPD=∠CPD,可得∠APB=∠APC,且∠ABP=∠ACP,AP=AP,由“AAS”可证△ABP ≌△ACP.

10. (2025·北京顺义区期中)如图,点E在△ABC外部,点D在BC边上,DE交AC于F.若∠BAD= ∠CAE= ∠CDE,AC= AE.请在图中找出一对全等三角形,并写出证明过程.

答案： △ABC≌△ADE,证明如下:如图
∵∠BAD=∠CAE,
∴∠BAD+∠1=∠CAE+∠1,即∠BAC=∠DAE.
∵∠2=∠3,∠EAC=∠CDF,
∴180°−∠3−∠CDF=180°−∠2−∠EAC,
即∠C=∠E.
在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE，AC=AE，∠C=∠E，
∴△ABC≌△ADE(ASA).

11. (2025·北京延庆区期末)如图,OC是∠AOB的平分线,点D在射线OA上,点E在射线OB上,点F在射线OC上,连接DF,EF.请你添加一个条件,使△OFD≌△OFE.小明同学写出以下条件:①OD= OE,②∠ODF= ∠OEF,③∠OFD= ∠OFE,④FD= FE,⑤∠ADF= ∠BEF,⑥∠DFC= ∠EFC.他认为:“添加以上条件中的任何一个,都可以使△OFD≌△OFE.”
(1)小明的说法错误(填“正确”或“错误”);
(2)从小明写出的条件中选择一个②(填写序号),使得△OFD≌△OFE,补全图形,并写出证明过程.

证明：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠DOF=∠EOF.在△OFD和△OFE中，∠DOF=∠EOF，∠ODF=∠OEF，OF=OF，∴△OFD≌△OFE(AAS).

答案：
(1)错误　[解析]
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC.①OD=OE,由SAS判定△OFD≌△OFE;
②∠ODF=∠OEF,由AAS判定△OFD≌△OFE;
③∠OFD=∠OFE,由ASA判定△OFD≌△OFE;
④FD=FE,∠AOC和∠BOC分别是FD和FE的对角，不能判定△OFD≌△OFE;
⑤由∠ADF=∠BEF,得到∠ODF=∠OEF,由AAS判定△OFD≌△OFE;
⑥由∠DFC=∠EFC,得到∠OFD=∠OFE,由ASA判定△OFD≌△OFE.
∴小明的说法是错误的.
(2)②(答案不唯一)　[解析]如图,选择②使得△OFD≌△OFE.证明如下:
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠DOF=∠EOF.
在△OFD和△OFE中，∠DOF=∠EOF，∠ODF=∠OEF，OF=OF，
∴△OFD≌△OFE(AAS).

12. (2025·重庆长寿区期末)如图,BD是∠ABC的平分线,AB= BC,点E在BD上,连接AE,CE,过点D作DF⊥AE,DG⊥CE,垂足分别是F,G,EF= 3.
(1)求证:△ABE≌△CBE;
(2)求EG的长.

答案：
(1)
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠CBE.
在△ABE和△CBE中，AB=BC，∠ABE=∠CBE，BE=BE，
∴△ABE≌△CBE(SAS).
(2)由
(1)知△ABE≌△CBE,
∴∠AEB=∠CEB.
∵∠AEB+∠FED=∠CEB+∠GED=180°,
∴∠FED=∠GED.
∵DF⊥AE,DG⊥CE,
∴∠EFD=∠EGD=90°.
在△FDE和△GDE中，∠EFD=∠EGD，∠FED=∠GED，ED=ED，
∴△FDE≌△GDE(AAS).
∴EG=EF=3.

13. 一线三等角模型 在△ABC中,∠ACB= 90°,AC= BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图(1)的位置时,求证:①△ADC≌△CEB;②DE= AD+BE.
(2)当直线MN绕点C旋转到图(2)的位置时,求证:DE= AD-BE.
(3)当直线MN绕点C旋转到图(3)的位置时,试问DE,AD,BE具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系,并加以证明.

答案：
(1)①因为AD⊥MN,BE⊥MN,
所以∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°.
所以∠CAD+∠ACD=90°,∠BCE+∠ACD=90°
所以∠CAD=∠BCE,
又AC=BC,所以△ADC≌△CEB(AAS),
②因为△ADC≌△CEB,所以CE=AD,CD=BE.
所以DE=CE+CD=AD+BE.
(2)因为∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°,
所以∠ACD+∠BCE=90°,∠BCE+∠CBE=90°.
所以∠ACD=∠CBE.
又AC=BC,所以△ACD≌△CBE(AAS),
所以CE=AD,CD=BE.
所以DE=CE−CD=AD−BE.
(3)当MN旋转到题图
(3)的位置时,DE,AD,BE所满足的等量关系是DE=BE−AD(或AD=BE−DE或
BE=AD+DE).证明如下:
因为∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°,
所以∠ACD+∠BCE=90°,∠BCE+∠CBE=90°
所以∠ACD=∠CBE.
又AC=BC,所以△ACD≌△CBE(AAS).
所以AD=CE,CD=BE.
所以DE=CD−CE=BE−AD.