《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

变式4.1 实验班原创 如图,在$\triangle ADC$中,$F为AD$的中点,$\angle DFE= \angle DAC$,且$EF= AC$,若$\triangle DEF的面积为2$,求$\triangle ADC$的面积.

答案： 如图,过点C作CM⊥AD于点M,过点E作EN⊥AD的延长线于点N,则∠END=∠CMD=∠CMA=90°.
∵∠DAC=∠DFE,即∠CAM=∠NFE,
又AC=EF,
∴△ACM≌△FEN,
∴CM=EN.
在△EDN和△CDM中,
∠N=∠CMD=90°,
∠EDN=∠CDM,
EN=CM,
∴△EDN≌△CDM(AAS),
∴ED=CD.
连接CF,则S△CDF=S△EDF=2.
又F为AD的中点,
∴S△ADC=2S△CDF=4.

变式4.2 (2024·山东临沂河东区期中)如图,在四边形$ABCD$中,$AB// DC$,$E为BC$的中点,连接$DE$,$AE$,$AE\perp DE$.若$AB= 6$,$CD= 4$,求$AD$的长.

答案： 延长DE交AB的延长线于点F,如图.
∵E为BC的中点,
∴BE=EC.
∵AB//CD,
∴∠F=∠CDE.
在△BEF与△CED中,
∠F=∠CDE,
∠BEF=∠CED,
BE=EC,
∴△BEF≌△CED(AAS),
∴AF=AB+BF=10.
∵AE⊥DE,
∴∠AED=∠AEF=90°.
又AE=AE,
∴△AEF≌△AED(SAS),
∴AF=AD=10.

变式4.3 (2024·上海杨浦区双语学校期中改编)如图,已知$AD是\triangle ACB$的中线,点$E是AC$上的一点,$BE交AD于点F$,$AC= BF$,$\angle DAC= 24^{\circ}$,$\angle EBC= 30^{\circ}$,求$\angle ACB$的度数.

答案： 延长AD到点M,使得DM=AD,连接BM.
在△BDM和△CDA中,
DM=DA,
∠BDM=∠CDA,
BD=CD,
∴△BDM≌△CDA(SAS),
∴BM=AC=BF,∠M=∠DAC=24°,∠ACB=∠DBM,
∴∠M=∠BFM=24°,
∴∠MBF=180° - ∠M - ∠BFM=132°.
∵∠EBC=30°,
∴∠DBM=∠MBF - ∠EBC=102°,
∴∠ACB=∠DBM=102°.

变式4.4 (2025·山东德州乐陵期中)(1)[旧题重现]《学习与评价》P19有这样一道习题:
如图(1),$AD$,$A'D'分别是\triangle ABC和\triangle A'B'C'的BC$,$B'C'$边上的中线,$AD= A'D'$,$AB= A'B'$,$BC= B'C'$.求证:$\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'$.
证明的途径可以用下面的框图表示,请填写其中的空格.

(2)[深入研究]
如图(2),$AD$,$A'D'分别是\triangle ABC和\triangle A'B'C'的BC$,$B'C'$边上的中线,$AD= A'D'$,$AB= A'B'$,$AC= A'C'$.判断$\triangle ABC与\triangle A'B'C'$是否仍然全等,并说明理由.

答案：
(1)①BD=$\frac{1}{2}$BC ②B'D'=$\frac{1}{2}$B'C' ③AD=A'D' ④∠B=∠B' [解析]
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=$\frac{1}{2}$BC.
∵A'D'是△A'B'C'的中线,
∴B'D'=$\frac{1}{2}$B'C'.
∵BC=B'C',
∴BD=B'D'.
在△ABD和△A'B'D'中,BD=B'D',
AD=A'D',
AB=A'B',
∴△ABD≌△A'B'D'(SSS),
∴∠B=∠B'.
在△ABC和△A'B'C'中,AB=A'B',
∠B=∠B',
BC=B'C',
∴△ABC≌△A'B'C'(SAS).
(2)△ABC和△A'B'C'仍然全等,理由如下:
如图,延长AD至E,使DE=AD,连接BE,延长A'D'至E',使D'E'=A'D',连接B'E'.
∵AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的BC和B'C'边上的中线,
∴BD=CD,B'D'=C'D'.
在△ADC和△EDB中,AD=DE,
∠ADC=∠BDE,
CD=BD,
∴△ADC≌△EDB(SAS),
∴AC=EB,∠DAC=∠E.
同理A'C'=E'B',∠D'A'C'=∠E'.
∵AC=A'C',
∴EB=E'B'.
∵AD=A'D',AD=DE,A'D'=D'E',
∴AE=A'E'.
∵AB=A'B',
∴△ABE≌△A'B'E'(SSS),
∴∠BAE=∠B'A'E',∠E=∠E',
∴∠DAC=∠D'A'C',
∴∠BAC=∠B'A'C'.
又AB=A'B',AC=A'C',
∴△ABC≌△A'B'C'(SAS).