《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

【例1】(第十五届WMO选拔赛复赛)如图，$\triangle ABC$内有一点$P$，点$D$，$E$，$F$分别是点$P$关于$AB$，$BC$，$AC$对称的点.若$\triangle ABC$的内角$\angle BAC=70^{\circ}$，$\angle ABC=60^{\circ}$，$\angle ACB=50^{\circ}$，则$\angle ADB+\angle BEC+\angle CFA$等于(C).
A.$180^{\circ}$
B.$270^{\circ}$
C.$360^{\circ}$
D.$480^{\circ}$

答案： 解：连接PA，PB，PC。
∵D，E，F分别是P关于AB，BC，AC的对称点，
∴AB垂直平分PD，BC垂直平分PE，AC垂直平分PF，
∴∠DAB=∠PAB，∠DBA=∠PBA，∠EBC=∠PBC，∠ECB=∠PCB，∠FCA=∠PCA，∠FAC=∠PAC。
设∠PAB=α，∠PBC=β，∠PCA=γ，
则∠DAB=α，∠DBA=∠ABC - ∠PBC=60° - β，
∠EBC=β，∠ECB=∠ACB - ∠PCA=50° - γ，
∠FCA=γ，∠FAC=∠BAC - ∠PAB=70° - α。
在△ADB中，∠ADB=180° - ∠DAB - ∠DBA=180° - α - (60° - β)=120° - α + β；
在△BEC中，∠BEC=180° - ∠EBC - ∠ECB=180° - β - (50° - γ)=130° - β + γ；
在△CFA中，∠CFA=180° - ∠FAC - ∠FCA=180° - (70° - α) - γ=110° + α - γ。
∴∠ADB + ∠BEC + ∠CFA=(120° - α + β)+(130° - β + γ)+(110° + α - γ)=360°。
答案：C

【例2】(第二十二届“华杯赛”决赛)如图，$\triangle ABC$，$\triangle AEF$和$\triangle BDF$均为正三角形，且$\angle ABF+\angle AFB+\angle ECD=60^{\circ}$，求$\angle AFC$的度数.

答案：

解析：根据已知条件先证明$\triangle BAF≌\triangle DEF$，$\triangle BAF≌\triangle BCD$，得到$DE = AB$，且$\angle EDF=\angle ABF$，$\angle AFB=\angle BDC$。再证$\triangle ACF≌\triangle ECF$，从而得到$\angle AFC=\angle CFE$，因此$\angle AFC = 30^{\circ}$。

答案：$\because\triangle AEF$和$\triangle BDF$为等边三角形，

$\therefore AF = EF$，$BF = DF$，

$\angle AFE=\angle BFD = 60^{\circ}$。

$\because\angle AFB+\angle BFE=\angle EFD+\angle BFE = 60^{\circ}$，

$\therefore\angle AFB=\angle EFD$。

$\therefore\triangle BAF≌\triangle DEF$。

$\therefore DE = AB$，且$\angle EDF=\angle ABF$。

又$\triangle ABC$为正三角形，

$\therefore AB = AC$，

$\therefore DE = AC$。

同理可证$\triangle BAF≌\triangle BCD$。

$\therefore\angle AFB=\angle BDC$，$\angle ABF=\angle CBD$。

$\therefore\angle CDE = 60^{\circ}-(\angle ABF+\angle AFB)$。

$\because\angle ECD = 60^{\circ}-(\angle ABF+\angle AFB)$，

$\therefore\angle CDE=\angle ECD$。

$\therefore\triangle CED$为等腰三角形，即$CE = DE$。

$\because AF = EF$，$CF = CF$，$AC = DE = CE$，

$\therefore\triangle ACF≌\triangle ECF$。

$\therefore\angle AFC=\angle CFE=\frac{1}{2}\angle AFE = 30^{\circ}$。

1. (第十五届WMO选拔赛复赛)如图,点$P$,$Q是边长为4cm的等边三角形ABC边AB$,$BC$上的动点,点$P从顶点A$,点$Q从顶点B$同时出发,且它们的速度都为$1cm/s$,连接$AQ$,$CP交于点M$,则在$P$,$Q$运动的过程中,当$\triangle PBQ$为直角三角形时,运动时间为(D).

A.$\frac{4}{3}$秒
B.$\frac{5}{2}秒或\frac{8}{3}$秒
C.$\frac{5}{2}$秒
D.$\frac{4}{3}秒或\frac{8}{3}$秒

答案： D　[解析]设运动时间为t秒,则AP=BQ=t cm,PB=(4 - t)cm.①当∠PQB = 90°时,
∵∠B = 60°,
∴∠BPQ = 30°,
∴PB = 2BQ,即4 - t = 2t,解得t = $\frac{4}{3}$;②当∠BPQ = 90°时,
∵∠B = 60°,
∴∠BQP = 30°,
∴BQ = 2PB,即t = 2(4 - t),解得t = $\frac{8}{3}$.
∴当第$\frac{4}{3}$秒或第$\frac{8}{3}$秒时,△PBQ为直角三角形.