《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

10. 证明：到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
已知：线段 AB 外一点 P,且$PA= PB$.
求证：P 在线段 AB 的垂直平分线上.

答案： 过点P作PD⊥AB于点D,
　则∠PDA=∠PDB=90°.
　在Rt△PDA和Rt△PDB中,{PA=PB,PD=PD,
　
∴Rt△PDA≌Rt△PDB(HL),
∴AD=BD.
　
∵PD⊥AB,
∴PD垂直平分AB,即P在线段AB的垂直平分线上.

11. (2025·湖南师大附中期末)如图,在$\triangle ABC$中,$AD\perp BC$,EF 垂直平分 AC,交 AC 于点 F,交 BC 于点 E,且$BD= DE$,连接 AE.
(1)求证：$AB= EC$；
(2)若$\triangle ABC$的周长为 32 cm,$AC= 12cm$,求 DC 的长.

答案：
(1)
∵EF垂直平分AC,
∴AE=EC.
∵AD⊥BC,BD=DE,即AD垂直平分BE,
∴AB=AE,
∴AB=EC.
(2)由题意可得AB+BC+AC=32cm,
∵AC=12cm,
∴AB+BC=20cm.
∵AB=EC,BD=DE,
∴DC=DE+EC=$\frac{1}{2}$BE+AB=$\frac{1}{2}$(BC−CE)+AB=
　$\frac{1}{2}$(BC−AB)+AB=$\frac{1}{2}$(AB+BC)=10cm.

12. (2025·山东日照期中)如图,在$\triangle ABC$中,边 AB 的垂直平分线分别交 AB,BC 于点 M,D,边 AC 的垂直平分线分别交 AC,BC 于点 N,E,MD,NE 的延长线交于点 O.
(1)若$BC= 12$,求$\triangle ADE$的周长；
(2)试判断点 O 是否在 BC 的垂直平分线上,并说明理由.

答案：

(1)
∵AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E,
　
∴AD=BD,AE=CE,
　
∴AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=12,
　
∴△ADE的周长为12.
(2)点O在BC的垂直平分线上，理由如下:
　　如图,连接AO,BO,CO.
　　　　　　　
　
∵OM,ON分别是AB，AC的垂直平分线，
　
∴OA=OB,OA=OC,
∴OB=OC,
　
∴点O在BC的垂直平分线上.

13. (2024·镇江中考)如图,$\triangle ABC$的边 AB 的垂直平分线交 AC 于点 D,连接 BD.若$AC= 8$,$CD= 5$,则$BD= $3.

答案： 3　[解析]
∵AC=8,CD=5,
∴AD=8−5=3.
　
∵D在AB的垂直平分线上,
∴BD=AD=3.