《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

1. (2025·江苏南通崇川区期末)如图,某研究性学习小组为测量学校$A与河对岸工厂B$之间的距离,在学校附近选一点$C$,利用测量仪器测得$\angle A = 60^{\circ}$,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 3\mathrm{km}$.据此,可求得学校与工厂之间的距离$AB$等于(D).

A.$5\mathrm{km}$
B.$\frac{9}{2}\mathrm{km}$
C.$3\sqrt{3}\mathrm{km}$
D.$6\mathrm{km}$

答案： D

2. 如图,$a// b$,$\triangle ABC$为等边三角形,若$\angle 1 = 45^{\circ}$,则$\angle 2$的度数为(A).

A.$105^{\circ}$
B.$120^{\circ}$
C.$75^{\circ}$
D.$45^{\circ}$

答案： A [解析]
∵△ABC 为等边三角形，
∴∠ACB=60°.
∵∠1=45°，
∴∠1+∠ACB=105°.
∵a//b，
∴∠2=∠1+∠ACB=105°. 故选 A.

3. (2025·江苏扬州仪征期中)如图,$\triangle ABC$是等边三角形,$AB = 6$,$BD是\angle ABC$的平分线,延长$BC到E$,使$CE = CD$,则$BE$长为(D).

A.$7$
B.$8$
C.$\frac{17}{2}$
D.$9$

答案： D [解析]由题意可知，BC=AB=AC=6.
∵BD 是∠ABC 的平分线，CE=CD，
∴CE=CD= $\frac{1}{2}$AC=3，
∴BE=BC+CE=9. 故选 D.

4. (2025·云南昆明民大附中期末)如图,$\triangle ABC$为等边三角形,$D为BC$延长线上一点,作$DE// AB交AC的延长线于点E$.若$AB = 5$,$AE = 8$,则$DE$的长为______3.

答案： 3 [解析]由条件可知，AB=AC=5，∠A=∠B=60°.
∵AE=8，
∴CE=AE - AC=8 - 5=3.
∵DE//AB，
∴∠D=∠B=60°，∠E=∠A=60°，
∴∠D=∠E=60°，
∴△CDE 为等边三角形，
∴DE=CE=3.

5. (2025·广东广州华南师大附中期末)如图,在四边形$ABCD$中,$AB = AD$,$CB = CD$,点$E为AD$上一点,连接$BD$,$CE交于点F$,$CE// AB$.
(1)若$\triangle ABD$为等边三角形,请判断$\triangle DEF$的形状,并说明理由；
(2)在(1)的条件下,若$AD = 12$,$CE = 9$,求$CF$的长.

答案：

(1)△DEF 是等边三角形.理由如下：
∵△ABD 为等边三角形，
∴∠ADB=∠A=∠ABD=60°.
∵CE//AB，
∴∠DEF=∠A=60°，∠EFD=∠ABD=60°，
∴△DEF 是等边三角形.
(2)连接 AC 交 BD 于点 O，如图，
∵AB=AD，CB=CD，
∴AC 垂直平分 BD，
∴AO⊥BD，
∴∠BAO=∠DAO=30°.
∵CE//AB，
∴∠ACE=∠BAO=∠DAO，
∴AE=CE=9，
∴DE=AD - AE=12 - 9=3.
∵△DEF 是等边三角形，
∴EF=DE=3，
∴CF=CE - EF=6.

6. (教材P82例4·延伸)如图,$\triangle ABC$是等边三角形,$O为\triangle ABC$内任意一点,$OE// AB$,$OF// AC$,分别交$BC于点E$,$F$.求证：$\triangle OEF$是等边三角形.

答案：
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵OE//AB，
∴∠OEF=∠ABC=60°.
∵OF//AC，
∴∠OFE=∠ACB=60°，
∴∠EOF=∠OEF=∠OFE=60°，
∴△OEF 是等边三角形.

7. 如图,$\angle MON = 30^{\circ}$,点$A_1$,$A_2$,$A_3$,…$在射线ON$上,点$B_1$,$B_2$,$B_3$,…$在射线OM$上,$\triangle A_1B_1A_2$,$\triangle A_2B_2A_3$,$\triangle A_3B_3A_4$,…$$均为等边三角形.若$OA_1 = 1$,则$\triangle A_6B_6A_7$的边长为(D).

A.$8$
B.$16$
C.$24$
D.$32$

答案： D [解析]
∵△A₁B₁A₂ 为等边三角形，
∴A₁B₁=A₁A₂=A₂B₁，∠A₂A₁B₁=60°，
∴∠A₂A₁B₁=∠MON+∠A₁B₁O=60°.又∠MON=30°，
∴∠A₁B₁O=30°，
∴△OA₁B₁ 为等腰三角形，
∴A₁B₁=OA₁=1，即△A₁B₁A₂ 的边长为 1，同理△A₂B₂A₃ 的边长为 2，△A₃B₃A₄ 的边长为 4，…，以此类推，△AₙBₙAₙ₊₁ 的边长为 $2^{n - 1}$，
∴△A₆B₆A₇ 的边长为 $2^{6 - 1}=2^{5}=32$. 故选 D.