《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

变式3.1 (2025·辽宁阜新太平区期末)在$△ABC$中,$∠ABC,∠ACB$的平分线BE,CD交于点F.
(1)[问题呈现]
如图(1),若$∠A=100^{\circ }$,求$∠BFD$的度数;
(2)[问题推广]
如图(2),将$△ABC$沿MN折叠,使得点A与点F重合,若$∠1+∠2=160^{\circ }$,求$∠BFC$的度数;
(3)[问题拓展]
若P,Q分别是线段AB,AC上的点,设$∠AQP=α,∠ACB=β$.射线CF与$∠APQ$的平分线所在的直线相交于点H(不与点P重合),直接写出$∠PHC$与$∠BFC$之间的数量关系(用含α,β的式子表示).

答案：
(1)40° [解析]
∵∠ABC,∠ACB的平分线BE,CD交于点F,
∴∠ABC=2∠FBC,∠ACB=2∠FCB,
∴2∠FBC+2∠FCB=∠ABC+∠ACB=180°-∠A,
∴∠FBC+∠FCB=$\frac{1}{2}$(180°-∠A)=90°-$\frac{1}{2}$∠A.
∵∠BFD是△FBC的一个外角,
∴∠BFD=∠FBC+∠FCB=90°-$\frac{1}{2}$∠A.
∵∠A=100°,
∴∠BFD=90°-$\frac{1}{2}$×100°=40°.
(2)130° [解析]
∵∠AMF=180°-∠1,∠ANF=180°-∠2,∠1+∠2=160°,
∴∠AMF+∠ANF=360°-(∠1+∠2)=200°.
由折叠性质得∠AMF=2∠AMN,∠ANF=2∠ANM,
∴2∠AMN+2∠ANM=∠AMF+∠ANF=200°,
∴∠AMN+∠ANM=100°,
∴∠A=180°-(∠AMN+∠ANM)=80°.
由
(1)得∠BFD=90°-$\frac{1}{2}$∠A,
∴∠BFD=90°-$\frac{1}{2}$×80°=50°,
∴∠BFC=180°-∠BFD=130°.
(3)∠PHC-∠BFC=$\frac{1}{2}$β-$\frac{1}{2}$α或∠PHC+∠BFC=180°+$\frac{1}{2}$α-$\frac{1}{2}$β [解析]
∵P,Q分别是线段AB,AC上的点,射线CF与∠APQ的平分线所在的直线相交于点H(不与点P重合),
∴有以下两种情况:
①射线CF与∠APQ的平分线相交于点H,设射线PH交AC于K,如图
(1)所示.
由
(1)得∠BFH=90°-$\frac{1}{2}$∠A,
∴∠BFC=180°-∠BFH=90°+$\frac{1}{2}$∠A.
∵CF平分∠ACB,PH平分∠APQ,∠ACB=β,
∴∠ACH=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$β,∠APK=$\frac{1}{2}$∠APQ.
∵∠APQ=180°-∠A-∠AQP=180°-∠A-α,
∴∠APK=$\frac{1}{2}$∠APQ=90°-$\frac{1}{2}$∠A-$\frac{1}{2}$α.
∵∠1=∠APK+∠A,
∴∠1=90°-$\frac{1}{2}$∠A-$\frac{1}{2}$α+∠A=90°+$\frac{1}{2}$∠A-$\frac{1}{2}$α,
即∠1=∠BFC-$\frac{1}{2}$α.
∵∠PHC=∠1+∠ACH,
∴∠PHC=∠BFC-$\frac{1}{2}$α+$\frac{1}{2}$β,
∴∠PHC-∠BFC=$\frac{1}{2}$β-$\frac{1}{2}$α.
②射线CF与∠APQ的平分线所在的直线相交于点H时,设射线PH交AC于K,如图
(2)所示.
同理:∠1=∠BFC-$\frac{1}{2}$α,
在△KHC中,∠PHC=180°-∠1-∠ACH=180°-(∠BFC-$\frac{1}{2}$α)-$\frac{1}{2}$β,
∴∠PHC+∠BFC=180°+$\frac{1}{2}$α-$\frac{1}{2}$β.
综上所述:∠PHC与∠BFC之间的数量关系是∠PHC-∠BFC=$\frac{1}{2}$β-$\frac{1}{2}$α或∠PHC+∠BFC=180°+$\frac{1}{2}$α-$\frac{1}{2}$β.

4. 当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时,我们称此三角形为“特征三角形”,其中α称为“特征角”.如果一个“特征三角形”的一个内角为$42^{\circ }$,那么这个“特征角”α的度数为42°或84°或92°.

答案： 42°或84°或92° [解析]当内角α是42°时,三角形的一个内角为42°÷2=21°,
∵42°+21°＜180°,
∴∠α=42°符合题意;
当内角α是42°的两倍时,∠α=42°×2=84°,
∵42°+84°=126°＜180°,
∴∠α=84°符合题意;
当内角α是第三个角的两倍时,设∠α=x°,则第三个角的度数为$\frac{1}{2}$x°,依题意,得42+x+$\frac{1}{2}$x=180,
解得x=92,
∴∠α=92°.
综上所述,∠α的度数为42°或84°或92°.

变式4.1 如图,CD是$△ABC$的角平分线,$∠1=∠2,∠B=30^{\circ }$,求$∠ACB$的度数.

答案： 80° [解析]设∠ACB=2α,
∵CD是△ABC的角平分线,
∴∠BCD=∠ACD=$\frac{1}{2}$∠ACB=α,
∴∠1=∠B+∠BCD=30°+α.
∵∠1=∠2,
∴∠2=30°+α.
∵∠2+∠B+∠ACB=180°,
∴30°+α+30°+2α=180°,
∴α=40°,
∴∠ACB=80°.

变式4.2 (2025·甘肃张掖甘州区期末)如图,在$△ABC$中,D是BC边上的一点,$∠C=∠DAC,∠B=∠ADB,∠BAC=87^{\circ }$,求$∠DAC$的度数.

答案： 31° [解析]
∵∠C=∠DAC,
∴设∠C=∠DAC=x,
则∠ADB=2x=∠B.
∵∠BAC=87°,
∴∠B+∠C=93°.
∴x+2x=93°,
∴x=31°,
∴∠DAC=31°.