《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

16. 中考新考法 新定义问题 小聪学习多项式时研究了多项式值为0的问题,发现当$mx+n= 0或px+q= 0$时,多项式$A= (mx+n)\cdot (px+q)= mpx^{2}+(mq+np)x+nq$的值为0,把此时x的值称为多项式A的零点.
(1)已知多项式$(3x+1)(x-2)$,则此多项式的零点为____-1/3或2;
(2)小聪继续研究$(x-3)(x-1),x(x-4)及(x-\frac {5}{2})(x-\frac {3}{2})$等,发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线$x= 2$对称,他把这些多项式称为“2系多项式”.若多项式$M= (2ax+b)(cx-5c)= bx^{2}-4cx-2a-4$是“2系多项式”,求a与c的值.
a的值为1/2，c的值为1

答案：
(1)-1/3或2 ［解析］由题意，得3x + 1 = 0或x - 2 = 0，解得x = -1/3或x = 2，故多项式的零点为x = -1/3或x = 2.
(2)
∵M = (2ax + b)(cx - 5c)，
∴M的两个零点分别是-b/2a，5.根据“2系多项式”的定义，有-b/2a + 5 = 4，化简，得b = 2a.将b = 2a代入多项式M进行化简，得M = 2ac(x + 1)·(x - 5)=2ac(x² - 4x - 5)=2acx² - 8acx - 10ac.
∵M = bx² - 4cx - 2a - 4 = 2ax² - 4cx - 2a - 4，
∴2ac = 2a，-8ac = -4c，整理，得a = 1/2，c = 1.

17. 数形结合思想(2025·福建漳州长泰区期中)数形结合是解决数学问题的重要思想方法,借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释.例如图(1),利用面积的不同表示方法可以用来解释代数恒等式$(a+b)^{2}= a^{2}+2ab+b^{2}.$
(1)根据图(2),利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式.
(2)试画出一个几何图形,使它能解释恒等式$(a+b)(2a+b)= 2a^{2}+3ab+b^{2}.$
(3)小明制作了图(3)所示的正方形和长方形硬纸片,其中A类纸片3张,B类纸片若干张,C类纸片4张,小明用这些硬纸片刚好拼成了一个长方形(纸片不重叠),请问B类纸片有多少张? 并写出利用所拼的图形可解释的代数恒等式.

答案：

(1)由题意可得，大长方形的面积可表示(a + b)(a + 2b)或a² + 3ab + 2b²，即(a + b)(a + 2b)=a² + 3ab + 2b².
(2)如图所示.

(3)由题意，可得①B类纸片有7张，(x + y)(3x + 4y)=3x² + 7xy + 4y²；②B类纸片有13张，(x + 4y)(3x + y)=3x² + 13xy + 4y²；③B类纸片有8张，(x + 2y)(3x + 2y)=3x² + 8xy + 4y².

18. (2024·长沙中考)先化简,再求值:$2m-m(m-2)+(m+3)(m-3)$,其中$m= \frac {5}{2}.$

答案： 2m - m(m - 2) + (m + 3)(m - 3)=2m - m² + 2m + m² - 9 = 4m - 9.当m = 5/2时，原式=4×5/2 - 9 = 10 - 9 = 1.