《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

【例】(第二十二届“华杯赛”决赛)直线 $ a $ 平行于直线 $ b $，$ a $ 上有 $ 5 $ 个点 $ A _ { 1 } , A _ { 2 } , \cdots , A _ { 5 } $，$ b $ 上有 $ 5 $ 个点 $ B _ { 1 } , B _ { 2 } , \cdots , B _ { 5 } $，连接线段 $ A _ { i } B _ { j } ( i , j = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) $ 所得到的图形中，三角形最多有多少个？

答案： 100+400+400+100=1000(个)
答：三角形最多有$1000$个。

1. (全国初中数学竞赛初赛)如图,点 $ D $,$ E $ 分别在 $ \triangle A B C $ 的边 $ A B $,$ A C $ 上,$ B E $,$ C D $ 相交于点 $ F $,设四边形 $ E A D F $,$ \triangle B D F $,$ \triangle B C F $,$ \triangle C E F $ 的面积分别为 $ S _ { 1 } $,$ S _ { 2 } $,$ S _ { 3 } $,$ S _ { 4 } $,则 $ S _ { 1 } S _ { 3 } $ 与 $ S _ { 2 } S _ { 4 } $ 的大小关系为(C)。

A.$ S _ { 1 } S _ { 3 } ＜ S _ { 2 } S _ { 4 } $
B.$ S _ { 1 } S _ { 3 } = S _ { 2 } S _ { 4 } $
C.$ S _ { 1 } S _ { 3 } ＞ S _ { 2 } S _ { 4 } $
D.不能确定

答案： 1.C [解析]连接DE,设$S_{\triangle DEF}=S_{1}^{'}$,则$\frac{S_{1}^{'}}{S_{2}}=\frac{EF}{BF}=\frac{S_{4}}{S_{3}}$,从而有$S_{1}^{'}S_{3}=S_{2}S_{4}$.$\because S_{1}＞S_{1}^{'}$,$\therefore S_{1}S_{3}＞S_{2}S_{4}$.故选C.

2. (全国初中数学竞赛初赛)如图,$ P $ 为 $ \triangle A B C $ 内一点,$ \angle B A C = 70 ^ { \circ } $,$ \angle B P C = 120 ^ { \circ } $,$ B D $ 是 $ \angle A B P $ 的平分线,$ C E $ 是 $ \angle A C P $ 的平分线,$ B D $ 与 $ C E $ 交于点 $ F $,则 $ \angle B F C $ 等于( )。

A.$ 85 ^ { \circ } $
B.$ 90 ^ { \circ } $
C.$ 95 ^ { \circ } $
D.$ 100 ^ { \circ } $

答案：
2.C [解析]如图,延长BP交AC于点Q,
　　　　　　　
则$\angle BPC=\angle ACP+\angle BQC$.
$\because \angle BQC=\angle A+\angle ABQ$,
$\therefore \angle BPC=\angle A+\angle ACP+\angle ABQ$①.
又$\angle BFC=\angle ACE+\angle BDC$,$\angle BDC=\angle A+\angle ABD$,
$\therefore \angle BFC=\angle A+\angle ACE+\angle ABD$②.
又$\angle ACP=2\angle ACE$,$\angle ABQ=2\angle ABD$,结合①②两式可得$\angle BPC=\angle A+2\angle ACE+2\angle ABD=2(\angle A+ \angle ACE+\angle ABD)-\angle A=2\angle BFC-\angle A$,$\therefore \angle BFC= \frac{1}{2}(\angle BPC+\angle A)=\frac{1}{2}×(120^{\circ}+70^{\circ})=95^{\circ}$.故选C.

3. (全国初中数学竞赛初赛)已知 $ \triangle A B C $ 的三个内角满足 $ \angle A ＜ \angle B ＜ \angle C ＜ 100 ^ { \circ } $,用 $ \theta $ 表示 $ 100 ^ { \circ } - \angle C $,$ \angle C - \angle B $,$ \angle B - \angle A $ 中的最小值,则 $ \theta $ 的最大值为____20°。

答案： 3.$20^{\circ}$ [解析]$\because \theta$表示$100^{\circ}-\angle C$,$\angle C-\angle B$,$\angle B-\angle A$中的最小值,$\therefore \theta \leq 100^{\circ}-\angle C$,$\theta \leq \angle C-\angle B$,$\theta \leq \angle B- \angle A$,$\therefore 6\theta \leq 3(100^{\circ}-\angle C)+2(\angle C-\angle B)+(\angle B- \angle A)$,$\therefore 6\theta \leq 300^{\circ}-(\angle A+\angle B+\angle C)=120^{\circ}$,$\therefore \theta \leq 20^{\circ}$.又当$100^{\circ}-\angle C=\angle C-\angle B=\angle B-\angle A=20^{\circ}$,即$\angle C=80^{\circ}$,$\angle B=60^{\circ}$,$\angle A=40^{\circ}$时,满足条件,故$\theta$可取到$20^{\circ}$.因此,$\theta$的最大值为$20^{\circ}$.