《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

1. (2025·江苏南通海门区期中)如图,四边形 ABCD中,$AD= CD,AB= CB$,我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”,根据所学知识,下列选项中正确的一项是(C).
A.AC 与 BD 互相垂直平分
B.AC 垂直平分 BD
C.BD 平分一组对角
D.AC 平分一组对角

答案： C [解析]
∵AD=CD，
∴点D在线段AC的垂直平分线上.
∵AB=CB，
∴点B在线段AC的垂直平分线上，
∴BD是AC的垂直平分线.
∵AD和AB不一定相等，CD和BC不一定相等，
∴AC不一定是BD的垂直平分线，故A,B选项错误；
在△ADB和△CDB中，$\left\{\begin{array}{l} AD=CD,\\ AB=CB,\\ BD=BD,\end{array}\right. $
∴△ADB≌△CDB(SSS)，
∴∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD，
∴对角线BD平分∠ABC，∠ADC，故C选项正确；
直线BD是筝形的对称轴，AC不是，故D选项错误.
故选C.

2. (2025·湖北武汉江汉区期末)如图,P为$△ABC$内一点,过点 P 的线段 MN 分别交 AB,BC 于点M,N,且 M,N 分别在 PA,PC 的中垂线上.若$∠ABC= 80^{\circ }$,则$∠APC$的度数为(C).

A.$120^{\circ }$
B.$125^{\circ }$
C.$130^{\circ }$
D.$135^{\circ }$

答案： C [解析]
∵∠ABC=80°，
∴∠BMN+∠BNM=180°-80°=100°.
∵M，N分别在PA，PC的中垂线上，
∴MA=MP，NC=NP，
∴∠MPA=∠MAP，∠NPC=∠NCP.
又∠BMN=∠MPA+∠MAP，∠BNM=∠NPC+∠NCP，
∴∠MPA+∠NPC=$\frac {1}{2}$(∠BMN+∠BNM)=50°，
∴∠APC=180°-50°=130°.故选C.

3. (2024·云南昆明呈贡区期末)如图,在$△ABC$中,$AB= AC,∠A= 36^{\circ }$,分别以点 A 和点 B为圆心,以大于$\frac {1}{2}AB$的长为半径作弧,两弧相交于 M,N 两点,作直线 MN 分别交 AB,AC 于点 F,D,作$DE⊥BC$于点 E.有下列三个结论:①BD 平分$∠ABC$;②$DE= DF$;③$BC+CD= 2AF$.其中错误的结论有(A).

A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

答案： A [解析]由作法得DF垂直平分AB，
∴DA=DB，AF=BF，
∴∠DBA=∠A=36°.
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac {1}{2}$×(180°-36°)=72°，
∴∠DBA=$\frac {1}{2}$∠ABC，即BD平分∠ABC，故①正确；
∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，DE⊥BC，
∴DE=DF，故②正确；
∵∠BDC=∠A+∠DBA=72°，
∴∠BDC=∠BCD，
∴BD=BC.
∵DB=DA，
∴BC=AD，
∴BC+CD=AD+CD=AC.
∵AB=AC=2AF，
∴BC+CD=2AF，故③正确.
故选A.

4. (2025·湖北武汉洪山区期末)如图,在$△ABC$中,BC 的垂直平分线分别交 BC,AC 于点 D,E,连接 BE.若 BE 平分$∠ABC$,且$∠A= 72^{\circ }$,则$∠CED$的度数为(C).

A.$72^{\circ }$
B.$64^{\circ }$
C.$54^{\circ }$
D.$36^{\circ }$

答案： C [解析]
∵DE是BC的垂直平分线，
∴EB=EC，
∴∠EBC=∠C.
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=∠EBA，
∴∠EBC=∠C=∠EBA.
∵∠A=72°，
∴∠EBC+∠C+∠EBA=180°-72°=108°，
∴∠EBC=∠C=∠EBA=36°.
∵ED⊥BC，
∴∠CED=90°-∠C=90°-36°=54°.
故选C.

5. 在$△ABC$中,$∠ABC$的平分线 BD 与边 BC 的垂直平分线 EF 相交于点 F,连接 CF.若$∠A= 70^{\circ },∠ABD= 25^{\circ }$,则$∠ACF$的度数是35$^{\circ }$.

答案： 35 [解析]
∵BF是∠ABC的平分线，
∴∠ABF=∠CBF.
∵FE是线段BC的垂直平分线，
∴FB=FC，
∴∠FBC=∠FCB，
∴∠ABF=∠CBF=∠FCB=25°，
∴3∠ABF+∠ACF+∠A=180°，
∴75°+∠ACF+∠A=180°.
又∠A=70°，
∴∠ACF=35°.

6. 如图所示,在$Rt△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },AC= BC$,D 为边 BC 上的中点,$CE⊥AD$于点 E,$BF// AC$交 CE 的延长线于点 F,连接DF.求证:AB 垂直平分 DF.

答案：
∵∠BCE+∠ACE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BCE=∠CAE.
∵AC⊥BC，BF//AC.
∴BF⊥BC.
∴∠ACD=∠CBF=90°.
∵AC=CB，
∴△ACD≌△CBF.
∴CD=BF.
∵D为边BC的中点，
∴CD=BD，
∴BF=BD.
∴△BFD为等腰直角三角形.
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠ABC=45°.
∵∠FBD=90°，
∴∠ABF=45°.
∴∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分线.
∴BA是边FD上的高线，BA又是边FD的中线，
即AB垂直平分DF.
归纳总结 本题主要考查了三角形全等的判定和角平分线的定义以及线段的垂直平分线的性质等几何知识.

7. (2025·重庆九龙坡区期末)如图,在$△ABC$中,$AB= AC,∠B= 65^{\circ }$,BC 边上的中线 AE 与AB 的垂直平分线交于点 O,则$∠ACO$的度数为______度.

答案：
25 [解析]如图，连接OB，OC.
∵AB=AC，∠ABC=65°，AE为中线，
∴OA垂直平分BC，∠OAB=∠OAC，
∠ABC=∠ACB=65°，
∴∠BAC=50°，BO=OC，

∴∠OAB=∠OAC=25°.
∵OD垂直平分AB，
∴OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=25°，
∴∠OBC=65°-25°=40°.
∵OA垂直平分BC，
∴BO=OC，
∴∠OBC=∠OCB=40°，
∴∠ACO=∠ACB-∠OCB=25°.