《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

10. 如图,在△ABF 中,顶点 B 的对边是AF.

答案： AF [解析]△ABF 的三边分别为 AB,BF,AF,其中AB,BF 与点 B 相邻，AF 与点 B 相对，故顶点 B 的对边是 AF.

11. 如图,以 BC 为边的三角形有4个.

答案： 4 [解析]
∵以 BC 为边的三角形有△BCD,△BCE,△BCF,△ABC,
∴以 BC 为边的三角形的个数是 4 个.

12. 分类讨论思想 (2025·江苏苏州姑苏区期中)如图,图(1)中有 1 个三角形,在图(1)中的三角形内部(不含边界)取一点,连接该点与三角形的 3 个顶点得到图(2),图(2)中共有 4 个三角形.若在图(2)中的一个小三角形内部(不含边界)取一点,连接该点与该小三角形的 3 个顶点得到图(3).在虚线框中画出图(3),图(3)中共有____个三角形.(写出所有可能的值)

答案：
7 或 9 [解析]共有两种情况:①如图
(1),两点不在同一直线上，分别连接三个顶点，共有 7 个三角形;
　②如图
(2),两点在同一直线上，分别连接三个顶点，共有9 个三角形.
　　　　

13. 在一节数学活动课上,小敏同学用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形,如图所示.按照这种方式继续拼下去,若图形中用了 41 根火柴棍,则图形中含有20个三角形.

答案： 20 [解析]1 个三角形需要火柴棍 3 根，2 个三角形需要火柴棍 5 根，3 个三角形需要火柴棍 7 根，…，发现规律:n 个三角形需要火柴棍(2n+1)根，
∴2n+1=41，解得 n=20.

14. 小盛在纸上画了四个点,如果把这四个点彼此连接,连成一个图形,则这个图形中会有几个三角形? 请你分别画图说明.

答案：

(1)如图
(1),三角形的个数是 4+4=8(个);
(2)如图
(2),当有三个点在一条直线上时，一共有 3 个三角形;
(3)如图
(3)，把这四个点彼此连接，连成一个图形，这个图形中一共有 4 个三角形;
　
(4)当四点在一条直线上时，则是一条线段，没有三角形.故这个图形中会有 8 个或 3 个或 4 个或 0 个三角形.

15. 中考新考法 动点问题 (2024·河南南阳镇平期末)如图,在 Rt△ABC 中,∠A = 90°,∠B = 30°.动点 P 从点 C 出发,沿边 CB,BA 向点 A 运动.在点 P 运动过程中,△PAC 可能成为的特殊三角形依次是(C).

A.直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形
B.等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形
C.直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
D.等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形

答案： C [解析]在点 P 运动过程中,△PAC 可能成为的特殊三角形依次是直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形.故选 C.

16. 归纳法 试探究以下问题:平面上有 n(n≥3)个点,任意三个点不在同一直线上,过任意三点作三角形,一共能作出多少个不同的三角形?
(1)分析:当仅有 3 个点时,可作1个三角形;当有 4 个点时,可作4个三角形;当有 5 个点时,可作10个三角形.
(2)归纳:考查点的个数 n 和可作出的三角形的个数 Sₙ.
当 n=3 时，可作出的三角形的个数$ S_{3}=\frac{3×2×1}{6} $；
当 n=4 时，可作出的三角形的个数$ S_{4}=\frac{4×3×2}{6} $；
当 n=5 时，可作出的三角形的个数$ S_{5}=\frac{5×4×3}{6} $；
当点的个数是 n 时，可作出的三角形的个数为$ S_{n}=\frac{n(n-1)(n-2)}{6} $，∴$ S_{n}=\frac{n(n-1)(n-2)}{6} $.

答案：
(1)1 4 10
(2)当 n=3 时，可作出的三角形的个数$ S_{3}=\frac{3×2×1}{6} $；
　当 n=4 时，可作出的三角形的个数$ S_{4}=\frac{4×3×2}{6} $；
　当 n=5 时，可作出的三角形的个数$ S_{5}=\frac{5×4×3}{6} $；
　当点的个数是 n 时，可作出的三角形的个数为$ S_{n}=\frac{n(n-1)(n-2)}{6} $，
∴$ S_{n}=\frac{n(n-1)(n-2)}{6} $.