《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

14. 一线三等角模型 数学课上,张老师展示了问题:如图(1),四边形ABCD是正方形,E是边BC的中点,∠AEF= 90°,且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F,求证:AE= EF.
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取AB的中点M,连接ME,则AM= EC,易证△AME≌△ECF,所以AE= EF.
在此基础上,同学们作了进一步的研究:
(1)小颖提出:如图(2),如果把“E是边BC的中点”改为“E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其他条件不变,那么结论“AE= EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由.
(2)小华提出:如图(3),E是BC的延长线上(除点C外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE= EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由.

答案：
(1)正确.证明如下:
如图
(1),在AB上取一点M,使AM=EC,连接ME.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC.
∴AB−AM=BC−EC,即BM=BE.
∴∠BME=45°,
∴∠AME=135°.
∵CF是外角平分线，
∴∠DCF=45°.
∴∠ECF=135°.
∴∠AME=∠ECF.又∠B=∠AEF=
90°,
∴∠AEB+∠MAE=90°,∠AEB+∠CEF=90°.
∴∠MAE=∠CEF.又AM=EC,
∴△AME≌△ECF(ASA).
∴AE=EF.
(2)正确.证明如下:
如图
(2),在BA的延长线上取一点N,使AN=CE,连接NE.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC.
∴AB+AN=BC+CE,即BN=BE.
∴∠N=45°.
∵CF平分∠DCG,
∴∠FCE=$\frac{1}{2}$∠DCG=45°.
∵AD//BE,
∴∠DAE=∠BEA.
∴∠NAE=∠CEF.
∴△ANE≌△ECF(ASA).
∴AE=EF.

15. (2024·南充中考)如图,在△ABC中,点D为BC边的中点,过点B作BE//AC交AD的延长线于点E.
(1)求证:△BDE≌△CDA;
(2)若AD⊥BC,求证:BA= BE.

答案：
(1)
∵点D为BC的中点，
∴BD=CD.
∵BE//AC,
∴∠EBD=∠C,∠E=∠CAD.
在△BDE和△CDA中，∠EBD=∠C，∠E=∠CAD，BD=CD，
∴△BDE≌△CDA(AAS).
(2)
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°.
在△ABD和△ACD中，AD=AD，∠ADB=∠ADC，BD=CD，
∴△ABD≌△ACD，
∴AB=AC.
由
(1)可知△BDE≌△CDA，
∴BE=CA，
∴BA=BE.