《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

1. (2024·浙江慈溪期末)下列各组线段中,能构成等腰三角形的是(C).
A.1,1,2
B.2,2,4
C.3,3,5
D.3,4,5

答案： C

2. (2024·云南中考)已知AF是等腰三角形ABC底边BC上的高,若点F到直线AB的距离为3,则点F到直线AC的距离为(C).
A.$\frac{3}{2}$
B.2
C.3
D.$\frac{7}{2}$

答案： C　[解析]
∵AF是等腰三角形ABC底边BC上的高，
∴AF是顶角∠BAC的平分线.
∵点F到直线AB的距离为3,
∴点F到直线AC的距离为3.故选C.
名师点评　根据等腰三角形的性质:三线合一，可知AF 也是顶角∠BAC的平分线，然后根据角平分线的性质，即可得到点F到直线AC的距离.

3. (2025·重庆开州区期末)如图,在$\triangle ABC$中,BE平分$\angle ABC$,$DE// BC$,若$AB = 12$,$AD = 5$,则DE等于(B).

A.6
B.7
C.8
D.9

答案： B　[解析]
∵AB=12,AD=5,
∴BD=AB−AD=12−5=7.
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE.
∵DE//BC,
∴∠DEB=∠CBE,
∴∠ABE=∠DEB,
∴DE=BD=7.故选B

4. 分类讨论思想(2025·福建师大附中期末)如图的正方形网格中,像点A,点B这样网格线的交点称为格点.以AB为边的等腰三角形ABC的三个顶点都属于格点,这样的等腰三角形有( ).

A.10个
B.8个
C.6个
D.4个

答案：
A　[解析]如图所示，分以下情况讨论:
　　　　　　　
①当AB为等腰三角形ABC底边时，符合条件的C点有6个:C₁,C₂,C₃,C₄,C₅,C₆;
②当AB为等腰三角形ABC其中的一条腰时,符合条件的C点有4个:C₇,C₈,C₉,C₁₀;
∴这样的等腰三角形有6+4=10(个).故选A

5. 教材P84习题T4·变式如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle BAC = 108^{\circ}$,AD,AE三等分$\angle BAC$,图中共有等腰三角形6个.

答案： 6　[解析]
∵AB=AC,∠BAC=108°,
∴∠B=∠C=36°,
∴△ABC是等腰三角形,
∵∠BAC=108°,AD,AE三等分∠BAC,
∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°,
∴∠DAC=∠BAE=72°,
∴∠AEB=∠ADC=72°,
∴BD=AD=AE=CE,AB=BE=AC=CD,
∴△ABE,△ADC,△ABD,△ADE,△AEC是等腰三角形，则等腰三角形共有6个.

6. (2024·浙江绍兴嵊州期中)如图,在四边形ABCD中,$AD// BC$,$DC = AB$,BF平分$\angle ABC$,交AD于点F,CE平分$\angle BCD$,交AD于点E,$AB = 6$,$EF = 2$,则AD的长为____10.

答案： 10　[解析]
∵BF平分∠ABC,
∴∠ABF=∠CBF.
∵AD//BC,
∴∠AFB=∠CBF,
∴∠AFB=∠ABF,
∴AF=AB.
∵AB=6,
∴AF=6.又EF=2,
∴AE=AF−EF=4.
∵DC=AB,AB=6,
∴DC=6.
∵CE平分∠BCD,
∴∠BCE=∠DCE.
∵AD//BC,
∴∠BCE=∠DEC,
∴∠DEC=∠DCE,
∴DE=CD=6,
∴AD=AE+DE=10.

7. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,过BC上一点D作BC的垂线,交BA的延长线于点P,交AC于点Q,试判断$\triangle APQ$的形状,并证明你的结论.

答案： △APQ是等腰三角形.证明如下:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
又PD⊥BC,
∴∠BDP=∠PDC=90°,
∴∠P+∠B=90°,∠DQC+∠C=90°,
∴∠P=∠DQC,又∠DQC=∠AQP,
∴∠AQP=∠P,
∴△APQ为等腰三角形.

8. (2025·山东临沂莒南期中)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 126^{\circ}$,$\angle B = 42^{\circ}$,边AB的垂直平分线DE与AB交于点E,与BC交于点D,连接AD.求证:$\triangle ACD$是等腰三角形.

答案：
∵DE垂直平分AB,
∴DB=DA,
∴∠B=∠DAB,
∵∠B=42°,
∴∠B=∠DAB=42°,
∴∠ADC=∠B+∠DAB=84°.
∵∠DAC=∠BAC−∠DAB=126°−42°=84°=∠ADC,
∴CA=CD,
∴△ACD为等腰三角形

9. (2025·广东潮州饶平期末)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC和\angle ACB$的平分线交于点E,过点E作$MN// BC$交AB于M,交AC于N,若$BM = 4$,$CN = 3$,则线段MN的长为(B).

A.6
B.7
C.8
D.9

答案： B　[解析]
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点E,
∴∠MBE=∠EBC,∠ECN=∠ECB,
∵MN//BC,
∴∠EBC=∠MEB,∠NEC=∠ECB,
∴∠MBE=∠MEB、∠NEC=∠ECN,
∴BM=ME,EN=CN,
∴MN=ME+EN=BM+CN.
∵BM=4,CN=3,
∴MN=7.故选B.