《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

16. (2025·安徽芜湖期末)(1)填空：$ (x - 1)(x + 1) = $$x^{2}-1$,$ (x - 1)(x^{2} + x + 1) = $$x^{3}-1$,$ (x - 1)(x^{3} + x^{2} + x + 1) = $$x^{4}-1$；
(2)猜想：$ (x - 1)(x^{n} + x^{n - 1} + … + x + 1) = $$x^{n+1}-1$($ n $为正整数)；
(3)求$ 2^{2024} + 2^{2023} + 2^{2022} + 2^{2021} + … + 2^{2} + 2 + 1 $的值。
$2^{2024}+2^{2023}+2^{2022}+2^{2021}+... +2^{2}+2+1$$=(2-1)(2^{2024}+2^{2023}+2^{2022}+2^{2021}+... +2^{2}+2+1)$$=2^{2025}-1.$

答案：
(1)$x^{2}-1$$x^{3}-1$$x^{4}-1$[解析]$(x-1)(x+1)=$$x^{2}+x-x-1=x^{2}-1;$$(x-1)(x^{2}+x+1)=x^{3}+x^{2}+x-x^{2}-x-1=x^{3}-1;$$(x-1)(x^{3}+x^{2}+x+1)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x-x^{3}-x^{2}-x-1=x^{4}-1.$
(2)$x^{n+1}-1$
(3)$2^{2024}+2^{2023}+2^{2022}+2^{2021}+... +2^{2}+2+1$$=(2-1)(2^{2024}+2^{2023}+2^{2022}+2^{2021}+... +2^{2}+2+1)$$=2^{2025}-1.$

17. 数形结合思想(2025·湖北黄冈期末)数形结合是数学学习的一种重要的思想方法,借助图的直观性,可以帮助理解数学问题。如图(1)是一个边长为$ a + b $的正方形,用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形,正方形的边长分别为$ a 和 b $,阴影部分的面积所揭示的乘法公式是$ (a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} $。

(1)用4个全等的长和宽分别为$ a $,$ b $的长方形拼摆成一个如图(2)的正方形,请你通过计算阴影部分的面积,直接写出这三个代数式$ (a + b)^{2} $,$ (a - b)^{2} $,$ ab $之间的等量关系；
(2)如图(3),$ C 是线段 AB $上的一点,分别以$ AC $,$ BC 为边向两边作正方形 ACDE 和 BCFG $,若$ AB = 9 $,两正方形的面积和为41,求$ \triangle AFC $的面积；
(3)若$ (2024 - m)(2025 - m) = 6 $,则$ (2024 - m)^{2} + (2025 - m)^{2} = $____。(直接写出结果)

答案：
(1)由题意,题图
(2)中阴影部分是边长为$(a-b)$的正方形,其面积为$(a-b)^{2}$或$(a+b)^{2}-4ab,$$\therefore (a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4ab.$
(2)设$AC=a,BC=CF=b,$$\because AB=9$,两正方形的面积和为 41,$\therefore a+b=9,a^{2}+b^{2}=41.$由$(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab$得$9^{2}=41+2ab,$解得$ab=20,\therefore S_{\triangle AFC}=\frac {1}{2}ab=\frac {1}{2}×20=10.$
(3)13 [解析]设$a=2024-m,b=2025-m$,则$a-b=1$,由$(2024-m)(2025-m)=6$得$ab=6,$由$(a-b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab$得$1^{2}=a^{2}+b^{2}-2×6,$$\therefore a^{2}+b^{2}=13$,即$(2024-m)^{2}+(2025-m)^{2}=13.$

18. 一题多问(2025·北京东城区期末)如图,有正方形$ A $,$ B $,现将$ B 放在 A $的内部得图(1),将$ A $,$ B $并列放置后构造新的正方形得图(2),若图(1),图(2)中阴影部分的面积分别为4,30。证明：
(1)正方形$ A 和 B $的面积和是34；
(2)图(2)中新的正方形的面积是64；
(3)正方形$ A 和 B $的面积差是16；
(4)正方形$ A $的边长是5。

答案：
(1)设正方形 A 的边长为 a,正方形 B 的边长为 b,图
(1)的阴影部分是边长为$a-b$的正方形,因此面积为$(a-b)^{2},$图
(2)的阴影部分是边长为$a+b$的大正方形与边长为 a,边长为 b 的两个正方形的面积差,即$(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2},$
∵图
(1),图
(2)中阴影部分的面积分别为 4,30.$\therefore (a-b)^{2}=4,(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}=30$,即$ab=15,$$\therefore a^{2}-2ab+b^{2}=4$,即$a^{2}+b^{2}=4+2ab=4+30=34$,故正方形 A 和 B 的面积和是 34.
(2)由
(1)可得$(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab=4+60=64,$故图
(2)中新的正方形的面积是 64.
(3)$\because (a-b)^{2}=4,(a+b)^{2}=64,a＞b＞0,$$\therefore a-b=2,a+b=8,\therefore a=5,b=3,$$\therefore a^{2}-b^{2}=25-9=16,$即正方形 A 与正方形 B 的面积差为 16.
(4)由
(3)得正方形 A 的边长为 5.