《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

1. (2025·四川内江期中)(1)若$a^{m}= 3,a^{n}= 4$,求$a^{2m+n}$的值；
(2)若$16^{m}= 4×2^{2n-2},27^{n}= 9×3^{m+3}$,求$(m-n)^{2025}$的值.

答案： 1.
(1)
∵a^m=3,a^n=4,
∴$a^(2m+n)=a^(2m)×a^n=(a^m)^2×a^n=3^2×4=36.(2)$根据题意可知$,16^m=4×2^(2n-2)=2^(4m)=2^2×2^(2n-2)=2^(2n-2+2)=2^(2n),$
∴4m=2n,
∴n=2m.
∵$27^n=9×3^(m+3)=3^(3n)=3^2×3^(m+3)=3^(m+3+2)=3^(m+5),$
∴3n=m+5,
∴6m=m+5,
∴m=1,
∴n=2,
∴$(m-n)^2025=(1-2)^2025=-1.$

2. (2024·江苏南通期中)(1)已知$a^{m}= 3,a^{n}= 2$,求$a^{3m+2n}$的值；
(2)已知$2^{x+3}\cdot 3^{x+3}= 6^{2x-4}$,求x的值；
(3)如果$2÷8^{x}\cdot 16^{x}= 2^{5}$,求x的值.

答案： 2.
(1)当a^m=3,a^n=2时$,a^(3m+2n)=a^(3m)×a^(2n)=(a^m)^3×(a^n)^2=3^3×2^2=27×4=108.(2)$
∵2^(x+3)×3^(x+3)=6^(2x-4),
∴(2×3)^(x+3)=6^(2x-4),即6^(x+3)=
6^(2x-4),
∴x+3=2x-4,解得$x=7.(3)2÷8^x·16^x=2÷(2^3)^x·(2^4)^x=2÷2^(3x)·2^(4x)=2^(1-3x+4x)=2^5,$
∴1-3x+4x=5,解得x=4.

3. 比较下列各题中幂的大小：
(1)比较$2^{55},3^{44},5^{33},6^{22}$这4个数的大小关系；
(2)已知$a= 81^{31},b= 27^{41},c= 9^{61}$,比较a,b,c的大小关系；
(3)已知$P= \frac {99^{9}}{9^{99}},Q= \frac {11^{9}}{9^{90}}$,比较P,Q的大小关系.

答案： 3.
(1)
∵$2^55=(2^5)^11=32^11,3^44=(3^4)^11=81^11,5^33=(5^3)^11=125^11,6^22=(6^2)^11=36^11,$
∴$32^11＜36^11＜81^11＜125^11,$
∴$2^55＜6^22＜3^44＜5^33.(2)$
∵$a=81^31=(3^4)^31=3^124,b=27^41=(3^3)^41=3^123,c=9^61=(3^2)^61=3^122,$
∴$3^122＜3^123＜3^124,$
∴$9^61＜27^41＜81^31,$
∴c＜b＜a.
(3)
∵$P=(99^9)/9^99=((9×11)^9)/9^99=(9^9×11^9)/9^99=11^9/9^90,Q=11^9/9^90,$
∴P=Q.

4. (2025·张家口万全区一模)若a,b是正整数,且满足$2^{a}×2^{a}×2^{a}×2^{a}= 4^{b}+4^{b}+4^{b}+4^{b}$,则下列a与b关系正确的是(D).
A.$a+b= 3$
B.$a-b= 2$
C.$2a+b= 1$
D.$2a-b= 1$

答案： 4.D [解析]
∵2^a×2^a×2^a×2^a=4^b+4^b+4^b+4^b,
∴2^(4a)=4×4^b,
∴2^(4a)=4^(b+1),
∴2^(4a)=2^(2b+2),
∴4a=2b+2,
∴2a=b+1,即2a-b=1.故选D.

5. (2025·上海闵行区期中)观察下列算式：$2^{1}= 2,2^{2}= 4,2^{3}= 8,2^{4}= 16,2^{5}= 32,2^{6}= 64,2^{7}= 128,2^{8}= 256,\cdot \cdot \cdot ,3^{1}= 3,3^{2}= 9,3^{3}= 27,3^{4}= 81,3^{5}= 243,3^{6}= 729,3^{7}= 2187,3^{8}= 6561,\cdot \cdot \cdot$,根据上述算式中的规律,$2^{21}+3^{11}$的末位数字是____9.

答案： 5.9 [解析]
∵$2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=16,2^5=32,2^6=64,2^7=128,2^8=256,…,$
∴其结果的末位数字每4次运算为一个循环.
∵21÷4=5……1,
∴$2^21$的末位数字与$2^1=2$的末位数字相同为2.
∵$3^1=3,3^2=9,3^3=27,3^4=81,3^5=243,3^6=729,3^7=2187,3^8=6561,…,$
∴其结果的末位数字每4次运算为一个循环.
∵11÷4=2……3,
∴$3^11$的末位数字与$3^3=27$的末位数字相同为7,
∴$2^21+3^11$的末位数字是2+7=9.

6. (2025·山东烟台期中)与幂有关的规律探究,一般是研究幂的个位数字的规律探究问题.常用的方法是先求出前几个数的个位数字,从中发现循环的规律,然后判断需要探求的数的个位数字处于循环规律中的第几个,最终得到答案.
(1)先观察,后计算：
观察算式：$2^{1}= 2,2^{2}= 4,2^{3}= 8,2^{4}= 16,2^{5}= 32,2^{6}= 64,2^{7}= 128,2^{8}= 256,2^{9}= 512,\cdot \cdot \cdot$,你能发现$2^{n}$的个位数字是由4种数字组成,分别是2,4,8,6；直接写出$2^{2023}$的个位数字是8；
(2)探究：$3^{2023}$的个位数字是多少？试着写出推导过程；
∵$3^1=3,3^2=9,3^3=27,3^4=81,3^5=243,3^6=729,3^7=2187,3^8=6561,3^9=19683,…,$∴3^n的个位数字是由4种数字组成,分别是3,9,7,1.∵2023÷4=505……3,∴$3^2023$的个位数字是7.
(3)直接写出$4^{2023}-2^{2023}$的结果的个位数字是6.

答案： 6.
(1)4 2,4,8,6 8 [解析]2^n的个位数字是由4种数字组成,分别是2,4,8,6;
∵2023÷4=505……3,
∴$2^2023$的个位数字是8.
(2)
∵$3^1=3,3^2=9,3^3=27,3^4=81,3^5=243,3^6=729,3^7=2187,3^8=6561,3^9=19683,…,$
∴3^n的个位数字是由4种数字组成,分别是3,9,7,1.
∵2023÷4=505……3,
∴$3^2023$的个位数字是7.
(3)6 [解析]
∵$4^1=4,4^2=16,4^3=64,4^4=256,$
∴$4^2023$的个位数字为4.
∵$2^2023$的个位数字是8,
∴$4^2023-2^2023$的结果的个位数字是6.