《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

【例1】(第十七届江苏省初中数学竞赛)如图,在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD,AB＞AD,下列结论中正确的是(A).
A.AB - AD ＞ CB - CD
B.AB - AD = CB - CD
C.AB - AD ＜ CB - CD
D.AB - AD与CB - CD的大小关系不确定

答案： 【解析】：
本题考查了角平分线的性质以及三角形三边关系。
在$AB$上截取$AE = AD$，连接$CE$。
因为$AC$平分$\angle BAD$，所以$\angle BAC = \angle DAC$。
在$\triangle AEC$和$\triangle ADC$中，$AE = AD$，$\angle BAC = \angle DAC$，$AC = AC$，根据全等三角形判定定理（$SAS$）可得$\triangle AEC\cong\triangle ADC$，所以$CE = CD$。
在$\triangle BCE$中，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，可得$BE＞BC - CE$，因为$BE = AB - AE = AB - AD$，$CE = CD$，所以$AB - AD＞BC - CD$。
【答案】：
A

【例2】(全国初中数学竞赛初赛)[问题背景]如图(1)所示,在四边形ABCD中,AB = AD,∠BAD = 120°,∠B = ∠ADC = 90°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF = 60°.试探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.
小王同学探究此问题的方法:延长FD到点G,使DG = BE,连接AG,先证明△ABE ≌ △ADG,再证明△AEF ≌ △AGF?从而可得出结论.则他的结论应是EF = BE + FD.

[探索延伸]如图(2),若在四边形ABCD中,AB = AD,∠B + ∠D = 180°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF = $\frac{1}{2}$∠BAD,上述结论是否仍然成立?并说明理由.

[实际应用]如图(3),在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(点O处)北偏西30°的点A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70°的点B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等.接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/时的速度前进,1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达点E,F处,且两舰艇之间的夹角为70°,试求此时两舰艇之间的距离.

答案： 【解析】：本题主要考查全等三角形的判定与性质，通过构造全等三角形来探究线段之间的数量关系，并在实际应用中利用前面探究的结论进行求解。
问题背景：通过延长$FD$到点$G$，使$DG = BE$，连接$AG$，构造全等三角形$\triangle ABE\cong\triangle ADG$，再证明$\triangle AEF\cong\triangle AGF$，从而得出$EF = BE + FD$。
探索延伸：同样通过构造全等三角形的方法，延长$FD$到点$G$，使$DG = BE$，连接$AG$，利用已知条件证明$\triangle ABE\cong\triangle ADG$和$\triangle AEF\cong\triangle AGF$，得出$EF = BE + FD$仍然成立。
实际应用：连接$EF$，延长$AE$，$BF$相交于点$C$，通过角度计算得出符合探索延伸中的条件，进而利用$EF = AE + FB$求出两舰艇之间的距离。
【答案】：
[问题背景]$EF = BE + FD$；
[探索延伸]$EF = BE + FD$仍然成立. 理由如下：
如图（1），延长$FD$到点$G$，使$DG = BE$，连接$AG$。
因为$\angle B + \angle ADC = 180^{\circ}$，$\angle ADG + \angle ADC = 180^{\circ}$，所以$\angle B = \angle ADG$。
又$AB = AD$，$BE = DG$，所以$\triangle ABE\cong\triangle ADG(SAS)$，所以$AE = AG$，$\angle BAE = \angle DAG$。
又$\angle EAF = \frac{1}{2}\angle BAD$，所以$\angle FAG = \angle FAD + \angle DAG = \angle FAD + \angle BAE = \angle BAD - \angle EAF = \angle BAD - \frac{1}{2}\angle BAD = \frac{1}{2}\angle BAD$，所以$\angle EAF = \angle GAF$。
又$AF = AF$，$AE = AG$，所以$\triangle AEF\cong\triangle AGF(SAS)$，所以$EF = GF$。
又$FG = DG + FD = BE + FD$，所以$EF = BE + FD$。
[实际应用]如图（2），连接$EF$，延长$AE$，$BF$相交于点$C$。
在四边形$AOBC$中，因为$\angle AOB = 30^{\circ} + 90^{\circ} + 20^{\circ} = 140^{\circ}$，$\angle EOF = 70^{\circ} = \frac{1}{2}\angle AOB$，且$OA = OB$，$\angle OAC + \angle OBC = 60^{\circ} + 120^{\circ} = 180^{\circ}$，所以符合探索延伸中的条件，所以结论$EF = AE + FB$成立，即$EF = AE + FB = 1.5×(60 + 80) = 210$（海里）。故此时两舰艇之间的距离为$210$海里。