《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

1. (2024·河北邯郸永年区期末)认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段,完成所提出的问题。
(1)探究1：如图(1),在△ABC中,O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点,猜想∠BOC与∠A之间存在怎样的数量关系？并说明你的猜想。
(2)探究2：如图(2),若O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点,试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由。
(3)探究3：如图(3),若O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点,则∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由。

答案： 1.
(1)
∵BO和CO分别是∠ABC与∠ACB的平分线,
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB,
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB).
∵∠ABC+∠ACB=180°−∠A,
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=90°−$\frac{1}{2}$∠A,
∴∠BOC=180°−(∠1+∠2)=180°−(90°−$\frac{1}{2}$∠A)=90°+$\frac{1}{2}$∠A.
(2)∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A.理由如下:
∵BO和CO分别是∠ABC与外角∠ACD的平分线，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠2=$\frac{1}{2}$∠ACD.
∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC,
∴∠2=$\frac{1}{2}$(∠A+∠ABC)=$\frac{1}{2}$∠A+∠1.
∵∠2是△BOC的一外角，
∴∠BOC=∠2−∠1=$\frac{1}{2}$∠A+∠1−∠1=$\frac{1}{2}$∠A.
(3)∠BOC=90°−$\frac{1}{2}$∠A.理由如下:
　根据三角形的外角性质，得∠DBC=∠A+∠ACB,∠BCE=∠A+∠ABC.
∵O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠DBC,∠OCB=$\frac{1}{2}$∠BCE,
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$(∠DBC+∠BCE)=$\frac{1}{2}$(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC).
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°,
∴∠OBC+∠OCB=90°+$\frac{1}{2}$∠A,
∴在△OBC中,∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−(90°+$\frac{1}{2}$∠A)=90°−$\frac{1}{2}$∠A.

2. (2025·四川成都期末)解答下列问题：
(1)如图(1)所示,BP平分∠ABC,CP平分∠ACM,若∠A= 70°,则∠P= ______度；
(2)如图(2)所示,BP平分∠ABC,CP平分∠ACM,求证∠P= $\frac{1}{2}$∠A；
(3)如图(3)所示,BP_1平分∠P₀BC,CP_1平分∠P₀CM,BP_2平分∠P_1BC,CP_2平分∠P_1CM,BP_3平分∠P_2BC,CP_3平分∠P_2CM,…,如此操作下去,直到BPₙ平分∠Pₙ₋_1BC,CPₙ平分∠Pₙ₋_1CM,若∠P₀= α,请直接写出∠P_1+∠P_2+∠P_3+…+∠Pₙ的值。(用含α,n的代数式表示,其中n为正整数)

答案：
2.
(1)35　[解析]如图，
∵BP平分∠ABC,
∴∠1=∠2.
∵CP平分∠ACM,
∴∠3=∠4.
∵∠A+∠ABC=∠ACM,
∴∠A+2∠2=2∠4.
∵∠2+∠P=∠4,
∴2∠2+2∠P=2∠4,
∴2∠2+2∠P=∠A+2∠2,
∴2∠P=∠A.
∵∠A=70°,
∴∠P=35°.
　　　　　　　
(2)
∵BP平分∠ABC,
∴∠ABC=2∠PBC.
∵CP平分∠ACM,
∴∠ACM=2∠PCM.
∵∠ACM=∠A+∠ABC,
∴∠ACM=∠A+2∠PBC.
∵∠PCM=∠P+∠PBC,
∴∠A+2∠PBC=2(∠P+∠PBC),
∴∠A=2∠P,
∴∠P=$\frac{1}{2}$∠A.
(3)由
(2)可得∠A=2∠P,
∵BP₁平分∠P₀BC,CP₁平分∠P₀CM,BP₂平分∠P₁BC,CP₂平分∠P₁CM,BP₃平分∠P₂BC,CP₃平分∠P₂CM,...,
∴∠P₀=2∠P₁,同理,∠P₁=2∠P₂,
∴∠P₀=2²∠P₂,
∴∠P₀=2ⁿ∠Pₙ,
∴∠Pₙ=$\frac{1}{2ⁿ}$∠P₀.
∵∠P₀=α,
∴∠Pₙ=$\frac{1}{2ⁿ}$α,
∴∠P₁+∠P₂+∠P₃+...+∠Pₙ=$\frac{1}{2}$α+$\frac{1}{4}$α+$\frac{1}{8}$α+...+$\frac{1}{2ⁿ}$α=α-$\frac{α}{2ⁿ}$.
　　　　该式子可由归纳法得出