《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

14. 分类讨论思想(2025·广东广州海珠区期中)如图,点 O是等边三角形 ABC 内一点,D 是$△ABC$外的一点,$∠AOB= 110^{\circ },∠BOC= α,△BOC\cong △ADC,∠OCD= 60^{\circ }$,连接 OD.
(1)求证:$△OCD$是等边三角形;
(2)当$α=150^{\circ }$时,试判断$△AOD$的形状,并说明理由;
(3)探究:当α为多少度时,$△AOD$是等腰三角形?

答案：
(1)
∵△BOC≌△ADC，
∴OC=DC.
∵∠OCD=60°，
∴△OCD是等边三角形.
(2)△AOD是直角三角形.理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC=60°.
∵△BOC≌△ADC，α=150°，
∴∠ADC=∠BOC=α=150°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，
∴△AOD是直角三角形.
(3)
∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD=∠ODC=60°.
∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α，
∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α，
∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°，
∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-(190°-α)-(α-60°)=50°.
①当∠AOD=∠ADO时，190°-α=α-60°，
∴α=125°.
②当∠AOD=∠OAD时，190°-α=50°，
∴α=140°.
③当∠ADO=∠OAD时，α-60°=50°，
∴α=110°.
综上所述，当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形.

15. (2025·福建福州闽清期中)如图,在$△ABC$中,AD 垂直平分 BC,垂足为 D,过点 D 作$DF⊥AB$,垂足为 F,FD 的延长线与 AC 边的延长线交于点 E,$∠E= 30^{\circ }$.
(1)求证:$△ABC$是等边三角形.
(2)BF 与 AE 有怎样的数量关系? 请说明理由.

答案：

(1)
∵AD垂直平分BC，
∴AB=AC.
∵EF⊥AB，∠E=30°，
∴∠BAC=90°-∠E=60°，
∴△ABC为等边三角形.
(2)BF与AE的数量关系是：BF=$\frac {1}{6}$AE，理由如下：
过点C作CH⊥EF于H，如图所示：

设BF=a，AB=x，则AF=AB-BF=x-a.
由
(1)可知：△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=x.
∵EF⊥AB，
∴∠BFD=∠CHD=90°.
∵AD垂直平分BC，
∴BD=CD.
在△BFD和△CHD中，$\left\{\begin{array}{l} ∠BFD=∠CHD=90°,\\ ∠BDF=∠CDH,\\ BD=CD,\end{array}\right. $
∴△BFD≌△CHD(AAS).
∴BF=CH=a.
在Rt△ECH中，∠E=30°，
∴CE=2CH=2a，
∴AE=AC+CE=x+2a.
在Rt△AEF中，∠E=30°，
∴AE=2AF，
即x+2a=2(x-a)，
∴x=4a，
∴AE=x+2a=6a.
∵BF=a，
∴BF=$\frac {1}{6}$AE.

16. 如图,$△ABC,△CDE$都是等边三角形,AD,BE 相交于点 O,点 M,N 分别是线段AD,BE 的中点.
(1)求证:$AD= BE$;
(2)求$∠DOE$的度数;
(3)求证:$△MNC$是等边三角形.

答案：
(1)
∵△ABC，△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l} AC=BC,\\ ∠ACD=∠BCE,\\ CD=CE,\end{array}\right. $
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE.
(2)
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC.
∵△DCE是等边三角形，
∴∠CED=∠CDE=60°，
∴∠ADE+∠BED=∠ADC+∠CDE+∠BED=∠BEC+60°+∠BED=∠CED+60°=60°+60°=120°，
∴∠DOE=180°-(∠ADE+∠BED)=60°.
(3)
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，AC=BC.
又点M，N分别是线段AD，BE的中点，
∴AM=$\frac {1}{2}$AD，BN=$\frac {1}{2}$BE，
∴AM=BN.
在△ACM和△BCN中，$\left\{\begin{array}{l} AC=BC,\\ ∠CAM=∠CBN,\\ AM=BN,\end{array}\right. $
∴△ACM≌△BCN(SAS)，
∴CM=CN，∠ACM=∠BCN.又∠ACB=60°，
∴∠ACM+∠MCB=60°，
∴∠BCN+∠MCB=60°，
∴∠MCN=60°，
∴△MNC是等边三角形.

17. 一题多问如图,已知$△ABC与△CDE$都是等边三角形,点 B,C,D 在同一条直线上,AD与 BE 相交于点 G,BE 与 AC 相交于点 F,AD 与 CE 相交于点 H,连接 FH.求证:
(1)$△ACD\cong △BCE$;
(2)$∠AGB= 60^{\circ }$;
(3)$BF= AH$;
(4)$△CFH$是等边三角形.

答案：
(1)
∵△ABC和△DCE是等边三角形，
∴∠BCA=∠DCE=60°，AC=BC，CE=CD，
∴∠BCE=∠ACD.
在△BCE和△ACD中，$\left\{\begin{array}{l} BC=AC,\\ ∠BCE=∠ACD,\\ CE=CD,\end{array}\right. $
∴△BCE≌△ACD(SAS).
(2)
∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBF=∠CAH.
∵∠BFC=∠AFG，
∴∠AGB=∠ACB=60°.
(3)在△BCF和△ACH中，$\left\{\begin{array}{l} ∠CBF=∠CAH,\\ BC=AC,\\ ∠BCF=∠ACH,\end{array}\right. $
∴△BCF≌△ACH(ASA)，
∴CF=CH，BF=AH.
(4)
∵CF=CH，∠ACH=60°，
∴△CFH是等边三角形.