《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

10. 中考新考法 操作探究 好学的小红在学完三角形的角平分线后,遇到下列$4$个问题,请你帮她解决. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠BAC = 48^{\circ}$,点$I是∠ABC$,$∠ACB$两角的平分线的交点.
(1)填空：$∠BIC = $114°；
(2)若点$D$是两条外角平分线的交点,则$∠BDC = $66°；
(3)若点$E是内角∠ABC$,外角$∠ACG$的平分线的交点,试探索：$∠BEC与∠BAC$的数量关系,并说明理由；
∠BEC= $\frac{1}{2}$∠BAC.理由如下:设∠ACE=∠ECG=x,∠ABI=∠IBC=y,则2x=2y+∠BAC①,x=y+∠BEC②,①÷2-②,得∠BEC= $\frac{1}{2}$∠BAC.
(4)在问题(3)的条件下,当$∠ACB$等于84度时,$CE// AB$.

答案：
(1)114° [解析]
∵∠A=48°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-48°=132°.
∵点I是∠ABC,∠ACB两角的平分线的交点,
∴∠IBC+∠ICB= $\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=66°,
∴∠BIC=180°-66°=114°.
记住∠BIC=90°+ $\frac{1}{2}$∠A便于快速解题
(2)66° [解析]由题意,得∠CBD= $\frac{1}{2}$(180°-∠ABC),∠BCD= $\frac{1}{2}$(180°-∠ACB),
∴∠CBD+∠BCD=180°- $\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=180°- $\frac{1}{2}$(180°-∠A)=90°+ $\frac{1}{2}$∠A=90°+ $\frac{1}{2}$×48°=114°,
∴∠BDC=180°-(∠CBD+∠BCD)=66°.
(3)∠BEC= $\frac{1}{2}$∠BAC.理由如下:设∠ACE=∠ECG=x,∠ABI=∠IBC=y,则2x=2y+∠BAC①,x=y+∠BEC②,①÷2-②,得∠BEC= $\frac{1}{2}$∠BAC.
(4)84 [解析]
∵CE//AB,
∴∠ECA=∠BAC=48°.
∵CE是∠ACG的平分线,
∴∠ACG=2∠ACE=96°,
∴∠ACB=180°-∠ACG=180°-96°=84°.

11. 分类讨论思想 (2025·福建厦门思明区期中)我们定义：在一个三角形中,若一个角的度数是另一个角度数的$4$倍,则这样的三角形称之为“和谐三角形”. 如：三个内角分别为$105^{\circ}$,$60^{\circ}$,$15^{\circ}$的三角形是“和谐三角形”.
[概念理解]
如图(1),$∠MON = 60^{\circ}$,点$A在边OM$上,过点$A作AB⊥OM交ON于点B$,以$A为端点作射线AD$,交线段$OB于点C$(点$C不与O$,$B$重合).
(1)$∠ABO$的度数为30°,$\triangle AOB$不是(填“是”或“不是”“和谐三角形”；
(2)若$∠ACB = 84^{\circ}$,试说明：$\triangle AOC$是“和谐三角形”；
[应用拓展]
(3)如图(2),点$D在\triangle ABC的边AB$上,连接$DC$,作$∠ADC的平分线交AC于点E$,在$DC上取点F$,使$∠EFC + ∠BDC = 180^{\circ}$,$∠DEF = ∠B$. 若$\triangle BCD$是“和谐三角形”,请直接写出$∠B$的度数.30°或80°

答案：
(1)30° 不是 [解析]
∵AB⊥OM,
∴∠OAB=90°,
∴∠ABO=90°-∠MON=30°,
∴∠OAB=3∠ABO,
∴△AOB不是“和谐三角形”.
(2)
∵∠ACB是△AOC的一个外角,
∴∠ACB=∠O+∠OAC.又∠O=60°,∠ACB=84°,
∴∠OAC=24°,∠ACO=180°-84°=96°,
∴∠ACO=4∠OAC,
∴△AOC是“和谐三角形”.
(3)
∵∠EFC+∠BDC=180°,∠ADC+∠BDC=180°,
∴∠EFC=∠ADC,
∴AD//EF,
∴∠DEF=∠ADE.
∵∠DEF=∠B,
∴∠B=∠ADE,
∴DE//BC,
∴∠CDE=∠BCD.
∵DE平分∠ADC,
∴∠ADE=∠CDE,
∴∠B=∠BCD.
∵△BCD是“和谐三角形”,
∴∠BDC=4∠B或∠B=4∠BDC.
关系不明确,需分类讨论
∵∠BDC+∠BCD+∠B=180°,
∴∠B+∠B+4∠B=180°或∠B+∠B+ $\frac{1}{4}$∠B=180°,
∴∠B=30°或∠B=80°.