《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

1. 如图,在$\triangle ABC$中,点$D$,$G分别在边BC$,$AC$上,且$∠B= ∠GDC$,$F在DG$的延长线上,$E在GC$上,如果$∠AGF= ∠DAG+∠3$,试说明$∠1= ∠3$.

答案：
∵∠B=∠GDC,
∴AB//GD,
∴∠1=∠2.
∵∠AGF=∠2+∠DAG,∠AGF=∠DAG+∠3,
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠3.

2. (2025·山东青岛崂山区期末)如图,$∠ACE= ∠DCE$,$∠B= 35^{\circ}$,$∠DCE= 50^{\circ}$,则$∠A= $(A).


A.$65^{\circ}$
B.$75^{\circ}$
C.$85^{\circ}$
D.$95^{\circ}$

答案： 2. A [解析]
∵∠ACE=∠DCE,∠DCE=50°,
∴∠ACE=50°,
∴∠ACD=∠ACE+∠DCE=100°.
∵∠ACD=∠B+∠A,∠B=35°,
∴∠A=∠ACD - ∠B=100° - 35°=65°.故选A.

3. 双角平分线模型 (2024·河南开封顺河区求实中学月考)如图(1),在$\triangle ABC$中,$BD平分∠ABC$,$CD平分∠ACB$.
(1)若$∠A= 80^{\circ}$,则$∠BDC$的度数为130°；
(2)若$∠A= \alpha$,直线$MN经过点D$.
①如图(2),若$MN// AB$,求$∠NDC-∠MDB$的度数(用含$\alpha$的代数式表示)；
②如图(3),若$MN绕点D$旋转,分别交线段$BC$,$AC于点M$,$N$,试问在旋转过程中$∠NDC-∠MDB$的度数是否会发生改变?若不变,求出$∠NDC-∠MDB$的度数(用含$\alpha$的代数式表示)；若改变,请说明理由.

(2)①$90^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha$；②$∠NDC - ∠MDB$的度数不变，为$90^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha$。理由如下：∵$∠NDC - ∠MDB=∠DMC+∠DCM - ∠MDB=∠DBM+∠BDM+∠DCM - ∠MDB=\frac{1}{2}∠ABC+\frac{1}{2}∠ACB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha$，∴$∠NDC - ∠MDB$的度数不变。

答案： 3.
(1)130° [解析]
∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠DCB=$\frac{1}{2}$∠ACB,
∴∠BDC=180° - (∠DBC+∠DCB)=180° - $\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=180° - $\frac{1}{2}$(180° - ∠A)=90°+$\frac{1}{2}$∠A.
∵∠A=80°,
∴∠BDC=90°+$\frac{1}{2}$×80°=130°.
(2)①
∵MN//AB,
∴∠A=∠DNC,∠ABD=∠MDB,
∴∠NDC - ∠MDB=180° - ∠A - $\frac{1}{2}$∠ACB - $\frac{1}{2}$∠ABC=180° - α - $\frac{1}{2}$(180° - α)=90° - $\frac{1}{2}$α.
　②∠NDC - ∠MDB的度数不变.理由如下:
∵∠NDC - ∠MDB=∠DMC+∠DCM - ∠MDB=∠DBM+∠BDM+∠DCM - ∠MDB=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$(180° - α)=90° - $\frac{1}{2}$α,
∴∠NDC - ∠MDB的度数不变.

4. 一题多问 (2024·山东聊城茌平区期末)如图,已知$BD是\triangle ABC$的角平分线,$CD是\triangle ABC的外角∠ACE$的平分线,$CD与BD交于点D$.
(1)若$∠A= 50^{\circ}$,则$∠D= $25°.
(2)若$∠A= 80^{\circ}$,则$∠D= $40°.
(3)若$∠A= 130^{\circ}$,则$∠D= $65°.
(4)若$∠D= 36^{\circ}$,则$∠A= $72°.
(5)综上所述,你会得到什么结论? 证明你的结论的准确性.

结论：∠D=$\frac{1}{2}$∠A。证明：∵BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线,∴∠ACE=2∠2,∠ABC=2∠1.∵∠ACE=∠ABC+∠A,∴2∠2=2∠1+∠A.∵∠2=∠1+∠D,∴2∠2=2∠1+2∠D,∴∠A=2∠D,即∠D=$\frac{1}{2}$∠A.

答案： 4.
(1)25°
(2)40°
(3)65°
(4)72°
(5)
∵BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线,
∴∠ACE=2∠2,∠ABC=2∠1.
∵∠ACE=∠ABC+∠A,
∴2∠2=2∠1+∠A.
∵∠2=∠1+∠D,
∴2∠2=2∠1+2∠D,
∴∠A=2∠D,即∠D=$\frac{1}{2}$∠A.