《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

19. 如图,在$△ABC$中,$AC＞AB$,AD平分$∠BAC$,点D到点B与点C的距离相等,过点D作$DE⊥BC$于点E.
(1)求证:$BE= CE;$
(2)请直接写出$∠ABC,∠ACB,∠ADE$三者之间的数量关系;
(3)若$∠ACB= 40^{\circ },∠ADE= 20^{\circ }$,求$∠DCB$的度数.

答案：

(1)如图
(1)中,
∵DB=DC,DE⊥BC,
∴CE=BE(三线合一).

(2)∠ABC - ∠ACB=2∠ADE.理由如下:
如图
(2)中,作BN⊥AD于点N,交AC于点M,设AD与BC交于点O.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAN=∠MAN,∠BAN + ∠ABN=90°,∠MAN + ∠AMN=90°,
∴∠ABN=∠AMN.
∵∠DOE=∠BON,∠DEO=∠BNO=90°,
∴∠ADE=∠CBM,
∴∠ABC - ∠ACB=∠ABM + ∠CBM - ∠ACB=∠AMB + ∠CBM - ∠ACB=∠MCB + ∠CBM + ∠CBM - ∠ACB=2∠CBM=2∠ADE.
(3)如图
(3)中,作DM⊥AC于点M,DN⊥AB交AB延长线于点N.
∵∠DAN=∠DAM,DM⊥AC,DN⊥AB,
∴DM=DN.
在Rt△DBN和Rt△DCM中
$\begin{cases}DB = DC\\DN = DM\end{cases}$
∴△DBN≌△DCM,
∴∠BDN=∠CDM,
∴∠CDB=∠MDN.
∵∠CAB + ∠MDN=180°,
∴∠CDB + ∠CAB=180°.
∵∠ACB=40°,∠ADE=20°,∠ABC - ∠ACB=2∠ADE,
∴∠ABC=80°,
∴∠CAB=180° - 80° - 40°=60°,
∴∠CDB=120°,
∴∠EDB=∠EDC=60°,
∴∠DCB=90° - ∠EDC=30°.

20. 手拉手模型 如图(1),在$△ABC$中,$AB= AC,$点D是直线BC上一点(不与点B,C重合),以AD为一边在AD的右侧作$△ADE$,使$AD= AE,∠DAE= ∠BAC$,连接CE.设$∠BAC= α,∠DCE= β.$
(1)求证:$△DAB\cong △EAC;$
(2)当点D在线段BC上运动时,
①若$α=50^{\circ }$,则$β=$130°;
②猜想α与β之间的数量关系,并对你的结论进行证明;
(3)如图(2),当点D在线段BC的反向延长线上运动时,猜想α与β之间的数量关系,并对你的结论给出证明.

(1)∵∠DAE=∠BAC,
∴∠DAE - ∠CAD=∠BAC - ∠CAD.
∴∠CAE=∠BAD.
在△DAB和△EAC中
$\begin{cases}AB = AC\\∠BAD = ∠CAE\\AD = AE\end{cases}$
∴△DAB≌△EAC(SAS).
(2)②α + β=180°.证明如下:
由(1)知,△DAB≌△EAC,∴∠ABC=∠ACE.
在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$(180° - ∠BAC)=$\frac{1}{2}$·(180° - α)=90° - $\frac{1}{2}$α.
∴β=∠ACB + ∠ACE=∠ACB + ∠ABC=90° - $\frac{1}{2}$α + 90° - $\frac{1}{2}$α=180° - α,
∴α + β=180°.
(3)β=α.证明如下:
∵∠DAE=∠BAC,
∴∠DAE - ∠BAE=∠BAC - ∠BAE.
∴∠CAE=∠BAD.
在△DAB和△EAC中
$\begin{cases}AB = AC\\∠BAD = ∠CAE\\AD = AE\end{cases}$
∴△DAB≌△EAC(SAS).
∴∠ABD=∠ACE.
在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$(180° - ∠BAC)=$\frac{1}{2}$·(180° - α)=90° - $\frac{1}{2}$α.
∴∠ACE=∠ABD=180° - ∠ABC=180° - (90° - $\frac{1}{2}$α)=90° + $\frac{1}{2}$α.
∴β=∠ACE - ∠ACB=90° + $\frac{1}{2}$α - (90° - $\frac{1}{2}$α)=α.

答案：
(1)
∵∠DAE=∠BAC,
∴∠DAE - ∠CAD=∠BAC - ∠CAD.
∴∠CAE=∠BAD.
在△DAB和△EAC中
$\begin{cases}AB = AC\\∠BAD = ∠CAE\\AD = AE\end{cases}$
∴△DAB≌△EAC(SAS).
(2)①130　[解析]由
(1)知,△DAB≌△EAC,
∴∠ABC=∠ACE.
在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α=50°,
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$(180° - ∠BAC)=$\frac{1}{2}$×(180° - 50°)=65°.
∴β=∠ACB + ∠ACE=∠ACB + ∠ABC=65° + 65°=130°.
②α + β=180°.证明如下:
由
(1)知,△DAB≌△EAC,
∴∠ABC=∠ACE.
在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$(180° - ∠BAC)=$\frac{1}{2}$·(180° - α)=90° - $\frac{1}{2}$α.
∴β=∠ACB + ∠ACE=∠ACB + ∠ABC=90° - $\frac{1}{2}$α + 90° - $\frac{1}{2}$α=180° - α,
∴α + β=180°.
(3)β=α.证明如下:
∵∠DAE=∠BAC,
∴∠DAE - ∠BAE=∠BAC - ∠BAE.
∴∠CAE=∠BAD.
在△DAB和△EAC中
$\begin{cases}AB = AC\\∠BAD = ∠CAE\\AD = AE\end{cases}$
∴△DAB≌△EAC(SAS).
∴∠ABD=∠ACE.
在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$(180° - ∠BAC)=$\frac{1}{2}$·(180° - α)=90° - $\frac{1}{2}$α.
∴∠ACE=∠ABD=180° - ∠ABC=180° - (90° - $\frac{1}{2}$α)=90° + $\frac{1}{2}$α.
∴β=∠ACE - ∠ACB=90° + $\frac{1}{2}$α - (90° - $\frac{1}{2}$α)=α.

21. (2024·内江中考)如图,在$△ABC$中,$∠DCE= $$40^{\circ },AE= AC,BC= $$BD$,则$∠ACB$的度数为____100°.

答案： 100°　[解析]
∵AC=AE,BC=BD,
∴设∠AEC=∠ACE=x°,∠BDC=∠BCD=y°,
∴∠A=180° - 2x°,∠B=180° - 2y°.
∵∠ACB + ∠A + ∠B=180°,∠BDC + ∠AEC + ∠DCE=180°,
∴∠ACB+(180° - 2x°)+(180° - 2y°)=180°,180° - (x° + y°)=∠DCE,
∴∠ACB + 360° - 2(x° + y°)=180°,
∴∠ACB + 2∠DCE=180°.
∵∠DCE=40°,
∴∠ACB=100°.