《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

1. (2025·广西玉林期中)如图,在$△ABD和△AEC$中,$AD= AB,AE= AC,∠DAB= ∠EAC= 50^{\circ }$,CD,BE 相交于点 P.
(1)证明:$BE= DC;$
(2)求$∠BPC$的度数.

答案： 1.
(1)
∵∠DAB=∠EAC=50°,
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC,
∴∠BAE=∠DAC.
在△BAE与△DAC中,{AB=AD,∠BAE=∠DAC,AE=AC}
∴△ABE≌△ADC(SAS),
∴BE=DC.
(2)
∵△ABE≌△ADC,
∴∠ABE=∠ADC,
∴∠BPD=∠DAB=50°,
∴∠BPC=130°.

2. (2025·陕西延安延长期末)将等边三角形 ABC 与等边三角形 BDE 按如图所示的位置放置,连接 AD,CE,交点为 O,M,N 分别是线段AD,CE 的中点,连接 BM,MN,BN.
(1)求证:$△ABD\cong △CBE;$
(2)判断$△BMN$的形状,并说明理由.

答案： 2.
(1)
∵△ABC和△BDE是等边三角形,
∴AB=BC,BD=BE,∠ABC=∠DBE=60°,
∴∠ABC+∠DBC=∠DBE+∠DBC,
∴∠ABD=∠CBE.
在△ABD和△CBE中,{AB=CB,∠ABD=∠CBE,BD=BE}
∴△ABD≌△CBE(SAS).
(2)△BMN是等边三角形,理由如下:
由
(1)知:△ABD≌△CBE,
∴∠BAD=∠BCE,AD=CE.
∵M,N分别是线段AD,CE的中点,
∴AM=$\frac{1}{2}$AD,CN=$\frac{1}{2}$CE,
∴AM=CN.
在△ABM和△CBN中,{AB=CB,∠BAM=∠BCN,AM=CN}
∴△ABM≌△CBN(SAS),
∴∠ABM=∠CBN,BM=BN,
∴∠ABM+∠MBC=∠CBN+∠MBC,
∴∠ABC=∠MBN=60°,
∴△BMN是等边三角形.

3. (2025·江西南昌中学期末)如图,两个等腰直角三角形 ADC 与 EDG,连接 AG,CE 相交于点 H.
求证:
(1)$AG= CE;$
(2)$∠AHC= 90^{\circ };$
(3)连接 HD,有以下两个结论:
①DH 平分$∠CDG;$
②HD 平分$∠AHE$,其中正确的是____(请写序号),不需证明.

答案：
3.
(1)
∵三角形ADC与三角形EDG是等腰直角三角形,
∴AD=CD,GD=ED,∠ADC=∠GDE=90°,
∴∠ADC+∠CDG=∠GDE+∠CDG,
即∠ADG=∠CDE.
在△ADG和△CDE中,{AD=CD,∠ADG=∠CDE,DG=DE}
∴△ADG≌△CDE(SAS),
∴AG=CE.
(2)如图
(1),记AG,CD的交点为K.
∵△ADG≌△CDE,
∴∠DCE=∠DAG.
∵∠AKD=∠CKH,∠ADC=90°,

∴∠AHC=∠ADC=90°.
(3)②

4. 实验班原创 如图,在等腰直角三角形 ABC 中,$AB= AC,∠BAC= 90^{\circ }$,M,N 是 BC 上的两点,$∠MAN= 45^{\circ }$,试判断$BM+CN$与 MN 之间的大小关系.

答案：
4.如图,过点C作CE⊥BC,垂足为点C,截取CE,使CE=BM.连接AE,EN.

∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠B=∠ACB=45°.
∵CE⊥BC,
∴∠ACE=∠B=45°.
在△ABM和△ACE中,{AB=AC,∠B=∠ACE,BM=CE}
∴△ABM≌△ACE(SAS),
∴AM=AE,∠BAM=∠CAE.
∵∠BAC=90°,∠MAN=45°,
∴∠BAM+∠CAN=45°,
∴∠MAN=∠EAN=45°.
在△MAN和△EAN中,{AM=AE,∠MAN=∠EAN,AN=AN}
∴△MAN≌△EAN(SAS),
∴MN=EN.
在△CNE中,由三角形三边关系可得CN+CE＞NE,
∴CN+BM＞MN.