《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

3. 如图,在平面直角坐标系中,点A为x轴上的一点,点B为y轴上的一点,AC平分∠BAx,BC平分∠ABy,求∠C的度数。

答案：
3.如图,由图可知,∠BAx=∠1+90°,∠ABy=∠2+90°,
∴∠BAx+∠ABy=∠1+90°+∠2+90°=180°+90°=270°.
∵AC平分∠BAx,BC平分∠ABy,
∴∠3+∠4=$\frac{1}{2}$(∠BAx+∠ABy)=$\frac{1}{2}$×270°=135°,
∴∠C=180°−(∠3+∠4)=45°.
　　　　　　　　　　　　　　　

4. 如图,在平面直角坐标系中,点A为x轴上的一点,点B为y轴上的一点,AD平分∠BAx,BP平分∠OBA,BP与DA的延长线交于点P,求∠P的度数。

答案： 4.
∵∠BAx是△AOB的外角，
∴∠BAx=∠OBA+∠AOB=∠OBA+90°.
∵AD平分∠BAx,BP平分∠OBA，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAx=$\frac{1}{2}$(∠OBA+90°)=$\frac{1}{2}$∠OBA+45°,∠ABP=$\frac{1}{2}$∠OBA,
∴∠P=∠BAD−∠ABP=$\frac{1}{2}$∠OBA+45°−$\frac{1}{2}$∠OBA=45°.

5. (1)模型：如图(1),AD,BC交于点O.求证：∠D+∠C= ∠A+∠B.
(2)模型应用：如图(2),∠BAD和∠BCD的平分线交于点E.
①若∠D= 20°,∠B= 60°,则∠E的度数是______。
②直接写出∠E与∠D,∠B之间的数量关系是______。
(3)类比应用：如图(3),∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E.若∠D= m°,∠B= n°(m＜n),求∠E的度数。(用含有m,n的式子表示)

答案：
5.
(1)
∵∠D+∠C+∠COD=∠A+∠B+∠AOB=180°,∠COD=∠AOB,
∴∠D+∠C=∠A+∠B.
(2)①40°　[解析]
∵∠D+∠DCE=∠E+∠DAE,∠E+∠ECB=∠B+∠EAB,
∴∠D+∠DCE+∠B+∠EAB=2∠E+∠DAE+∠ECB.
∵EC平分∠BCD,AE平分∠BAD,
∴∠DCE=∠ECB,∠DAE=∠BAE,
∴2∠E=∠B+∠D,
∴∠E=$\frac{1}{2}$×(20°+60°)=$\frac{1}{2}$×80°=40°.
②∠E=$\frac{1}{2}$(∠D+∠B)
(3)如图,延长BC交AD于F.
∵∠BFD=∠B+∠BAD,
∴∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D.
　　　　　　　　　　　　　　　　
∵CE平分∠BCD,AE平分∠BAD,
∴∠ECD=∠ECB=$\frac{1}{2}$∠BCD,
∠EAD=∠EAB=$\frac{1}{2}$∠BAD.
∵∠E+∠ECB=∠B+∠EAB,
∴∠E=∠B+∠EAB−∠ECB=∠B+∠BAE−$\frac{1}{2}$∠BCD=∠B+∠BAE−$\frac{1}{2}$(∠B+∠BAD+∠D)=$\frac{1}{2}$(∠B−∠D).
∵∠D=m°,∠B=n°,
∴∠E=$\frac{1}{2}$(n - m)°.