《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

12. (2025·福建泉州永春期末)若实数$x满足x^{2}+3x-1= 0$,则$\frac {x}{x^{2}-1}$的值为$-\frac{1}{3}$.

答案： $-\frac{1}{3}$

13. 通分:
(1)$\frac {x}{x-y},\frac {y}{x^{2}+2xy+y^{2}},\frac {2}{x^{2}-y^{2}}$;
(2)$\frac {1}{2x+2},\frac {3}{x^{2}-1},\frac {x}{x^{2}+2x+1}$.

答案：
(1)$\frac{x(x+y)^2}{(x+y)^2(x-y)}$,$\frac{y(x-y)}{(x+y)^2(x-y)}$,$\frac{2(x+y)}{(x+y)^2(x-y)}$.
(2)$\frac{(x+1)(x-1)}{2(x+1)^2(x-1)}$,$\frac{6(x+1)}{2(x+1)^2(x-1)}$,$\frac{2x(x-1)}{2(x+1)^2(x-1)}$.思路引导 解答本题先找出各个分母系数的最小公倍数,相同字母的最高次幂,从而写出各分式的最简公分母,然后将两组分式利用分式的基本性质变形为同分母的形式.

14. 已知分式$\frac {1}{3x^{2}-3},\frac {2}{x-1},a$是这两个分式中分母的公因式,$b$是这两个分式的最简公分母,且$\frac {b}{a}= 3$,试求这两个分式的值.

答案： 由题意,得a=x-1,b=3(x+1)(x-1),
∴$\frac{b}{a}=\frac{3(x+1)(x-1)}{x-1}=3(x+1)=3$,解得x=0.
∴$\frac{1}{3x^2-3}=-\frac{1}{3}$,$\frac{2}{x-1}=-2$.

15. (2025·广东广州增城区期末)已知$x＞3$,代数式:$A= 2x^{2}-8,B= 3x^{2}-6x,C= x^{3}-4x^{2}+4x$.
(1)因式分解$B$;
(2)在$A,B,C$中任选两个代数式,分别作为分子、分母,组成一个分式,并化简该分式.

答案：
(1)B=3x²-6x=3x(x-2).
(2)当A,B分别作为分子、分母时,$\frac{2x^2-8}{3x^2-6x}=\frac{2(x+2)(x-2)}{3x(x-2)}=\frac{2x+4}{3x}$(答案不唯一).

16. 若使$\frac {n-13}{5n+6}$为可约分数,则自然数$n$的最小值应是多少?

答案： 要使$\frac{n-13}{5n+6}$可约分,不妨设分子与分母有公因数a,显然应有a＞1,并且设分子为n-13=ak₁①,分母为5n+6=ak₂②,其中k₁,k₂为整数.由①,得n=13+ak₁③,将③代入②,得5(13+ak₁)+6=ak₂,即71+5ak₁=ak₂,所以a(k₂-5k₁)=71.由于71是质数,且a＞1,所以a=71.所以n=k₁·71+13.故n的最小值为84.

17. “约去”指数:如$\frac {3^{3}+1^{3}}{3^{3}+2^{3}}= \frac {3+1}{3+2},\frac {5^{3}+2^{3}}{5^{3}+3^{3}}= \frac {5+2}{5+3},...$.
你见过这样的约分吗? 面对这荒谬的约分,一笑之后,再认真检验,发现其结果竟然正确! 这是什么原因? 仔细观察式子,我们可做如下猜想:$\frac {a^{3}+b^{3}}{a^{3}+(a-b)^{3}}= \frac {a+b}{a+(a-b)}$,试说明此猜想的正确性.(参考:$x^{3}+y^{3}= (x+y)(x^{2}-xy+y^{2})$)

答案：
∵$\frac{a^3+b^3}{a^3+(a-b)^3}=\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{(a+a-b)[a^2-a(a-b)+(a-b)^2]}=\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{(a+a-b)(a^2-a^2+ab+a^2-2ab+b^2)}=\frac{a+b}{a+(a-b)}$,
∴$\frac{a^3+b^3}{a^3+(a-b)^3}=\frac{a+b}{a+(a-b)}$正确.