《2025年一遍过八年级数学上册北师大版》

1 下列方程中,是三元一次方程的是 (D)
A. $\frac{x}{3}-\frac{2}{y}= y+5x$
B. $3x+1= 2xy$
C. $\frac{1}{5}x= y^{2}+1$
D. $x+y= z$

答案： D

2 下列方程组中,是三元一次方程组的是 (D)
A. $\left\{\begin{array}{l}x^{2}-y= 1, \\ y+z= 0, \\ xz= 2\end{array}\right.$
B. $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+y= 1, \\ \frac{1}{y}+z= 2, \\ \frac{1}{z}+x= 6\end{array}\right.$
C. $\left\{\begin{array}{l}a+b+c+d= 1, \\ a-c= 2, \\ b-d= 3\end{array}\right.$
D. $\left\{\begin{array}{l}m+n= 18, \\ n+t= 12, \\ t+m= 0\end{array}\right.$

答案： D A项$x^{2}-y=1$与$xz=2$中，$x^{2}$，$xz$的次数为2，故A项不是三元一次方程组；B项中$\frac {1}{x}$，$\frac {1}{y}$，$\frac {1}{z}$不是整式，故B项不是三元一次方程组；C项中有四个未知数，故C项不是三元一次方程组。

3 [2024遂宁期末]下列四组数值中,是方程组$\left\{\begin{array}{l}a+b+c= 0, \\ 2a-b+c= -5, \\ 3a-b-c= -4\end{array}\right.$的解的是 (B)
A. $\left\{\begin{array}{l}a= 0, \\ b= 1, \\ c= -1\end{array}\right.$
B. $\left\{\begin{array}{l}a= -1, \\ b= 2, \\ c= -1\end{array}\right.$
C. $\left\{\begin{array}{l}a= -1, \\ b= 1, \\ c= -2\end{array}\right.$
D. $\left\{\begin{array}{l}a= 1, \\ b= -2, \\ c= 3\end{array}\right.$

答案： B

4 [2024泉州期中]解方程组$\left\{\begin{array}{l}2x-y+3z= 1, \\ 3x+y-7z= 2, \\ 5x-y+3z= 3,\end{array}\right.$如果要使运算简便,那么消元时最好应 (B)
A. 先消去$x$
B. 先消去$y$
C. 先消去$z$
D. 先消常数项

答案： B

5 [2024烟台牟平区期中]三元一次方程组$\left\{\begin{array}{l}2a+b-3c= 19, \\ 4a+2b+c= 3, \\ a-b+c= 0\end{array}\right.$消去未知数c后,所得二元一次方程组是 ($\left\{\begin{array}{l} 5a-2b=19,\\ a+b=1\end{array}\right.$)
A. $\left\{\begin{array}{l}5a-2b= 19, \\ a+b= 1\end{array}\right.$
B. $\left\{\begin{array}{l}2a+b= 4, \\ 3a+b= 3\end{array}\right.$
C. $\left\{\begin{array}{l}a+b= 1, \\ 3a-2b= 19\end{array}\right.$
D. $\left\{\begin{array}{l}3a+b= 3, \\ 5a-2b= 19\end{array}\right.$

答案： A $\left\{\begin{array}{l} 2a+b-3c=19,\enclose{circle} {1}\\ 4a+2b+c=3,\enclose{circle} {2}\\ a-b+c=0,\enclose{circle} {3}\end{array}\right.$ $\enclose{circle} {2}-\enclose{circle} {3}$，得$3a+3b=3$，即$a+b=1$，$\enclose{circle} {3}×3+\enclose{circle} {1}$，得$5a-2b=19$，所以消去未知数c后，所得二元一次方程组是$\left\{\begin{array}{l} 5a-2b=19,\\ a+b=1。\end{array}\right.$

6 [2024西安高新一中期中]解方程组:$\left\{\begin{array}{l}x+y+z= 10, \\ 2x+3y+z= 17, \\ 3x+2y-z= 8。\end{array}\right.$
解：$\left\{\begin{array}{l} x+y+z=10,\enclose{circle} {1}\\ 2x+3y+z=17,\enclose{circle} {2}\\ 3x+2y-z=8,\enclose{circle} {3}\end{array}\right.$
$\enclose{circle} {2}-\enclose{circle} {1}$，得$x+2y=7$，④
$\enclose{circle} {2}+\enclose{circle} {3}$，得$5x+5y=25$，即$x+y=5$，⑤
$\enclose{circle} {4}-\enclose{circle} {5}$，得$y=2$，
将$y=2$代入⑤，得$x=3$，
将$x=3$，$y=2$代入①，得$z=5$，
所以原方程组的解为$\left\{\begin{array}{l} x=3,\\ y=2,\\ z=5。\end{array}\right.$

答案： 解：$\left\{\begin{array}{l} x+y+z=10,\enclose{circle} {1}\\ 2x+3y+z=17,\enclose{circle} {2}\\ 3x+2y-z=8,\enclose{circle} {3}\end{array}\right.$
$\enclose{circle} {2}-\enclose{circle} {1}$，得$x+2y=7$，④
$\enclose{circle} {2}+\enclose{circle} {3}$，得$5x+5y=25$，即$x+y=5$，⑤
$\enclose{circle} {4}-\enclose{circle} {5}$，得$y=2$，
将$y=2$代入⑤，得$x=3$，
将$x=3$，$y=2$代入①，得$z=5$，
所以原方程组的解为$\left\{\begin{array}{l} x=3,\\ y=2,\\ z=5。\end{array}\right.$

7 [教材习题变式][2024郑州二七区模拟]甲、乙、丙三个数的和为29,甲数比乙数大5,乙数的$\frac{1}{3}等于丙数的\frac{1}{2}$,则这三个数依次为14，9，6。

答案： 14，9，6 设甲数为x，乙数为y，丙数为z，由题意，得$\left\{\begin{array}{l} x+y+z=29,\\ x-y=5,\\ \frac {1}{3}y=\frac {1}{2}z,\end{array}\right.$ 解得$\left\{\begin{array}{l} x=14,\\ y=9,\\ z=6。\end{array}\right.$

8 [2024重庆模拟]买3本练习本、2支笔、7块橡皮共用了27元,买同样的练习本5本、同样的笔4支、同样的橡皮9块共用了43元。如果买同样的练习本、笔、橡皮各5本、5支、5块,总共需要40元。

答案： 40 设练习本每本x元，笔每支y元，橡皮每块z元，由题意，得$\left\{\begin{array}{l} 3x+2y+7z=27,\enclose{circle} {1}\\ 5x+4y+9z=43,\enclose{circle} {2}\end{array}\right.$
$\enclose{circle} {2}-\enclose{circle} {1}$，得$2x+2y+2z=16$，所以$x+y+z=8$，所以$5x+5y+5z=5(x+y+z)=5×8=40$。

有$A,B,C$三种商品,单价都是正整数(单位:元),若黄老师去买$A$商品3件、$B$商品7件、$C$商品1件,共付款24元;黄老师又去买$A$商品4件、$B$商品10件、$C$商品1件,共付款33元。则黄老师买$A,B,C$三种商品各一件共需付款6元。

答案： 6 设商品A的单价为x元，商品B的单价为y元，商品C的单价为z元，由题意，得$\left\{\begin{array}{l} 3x+7y+z=24,\enclose{circle} {1}\\ 4x+10y+z=33,\enclose{circle} {2}\end{array}\right.$ $\enclose{circle} {2}-\enclose{circle} {1}$，
得$x+3y=9$。由①，得$z=24-3x-7y$，所以$x+y+z=x+y+24-3x-7y=24-2x-6y=24-2(x+3y)=24-2×9=6$，即买A，B，C三种商品各一件共需付款6元。