《2025年一遍过八年级数学上册北师大版》

1 新趋势·结论开放[2024贺州期末]综合与实践 广西贺州文化旅游形象大使“麒大宝”萌出圈,它是以贺州麒麟尊为原型,并融入了贺州当地文化的典型色彩。某景区计划在景区内放置两种不同型号的“麒大宝”形象雕塑,雕塑下方是30cm高的长方体底座。
|如何设计底座裁切方案?|
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|素材1|经测量,这两种型号的底座尺寸分别为60cm×45cm,60cm×120cm。如图是A,B两种型号底座的尺寸示意图。|
|素材2|因景区需要,某工厂配合制作A,B两款雕塑底座。工厂现在在市场上购进相应型号的长方体物料,只需根据要求进行裁切、加工,即可制作这两种底座。已知该物料长为720cm,宽为60cm,高为30cm。(裁切时不计损耗)|
|任务一|拟定裁切方案|我是裁切师|
| | |若要不造成物料浪费,请你设计出一块物料的所有裁切方法。|
| | |方法一:裁切A型底座16个和B型底座0个。|
| | |方法二:裁切A型底座8个和B型底座3个。|
| | |方法三:裁切A型底座0个和B型底座6个。|
|任务二|确定搭配数量| |
| | |若1个A型底座和1个B型底座为一组,1块物料能制作成多少组底座?48|
|任务三|解决实际问题| |
| | |现需要制作70组底座,该工厂仓库现有6个A型底座和4个B型底座,还需要购买该型号物料多少块(恰好全部用完)?并给出一种裁切方案。15，裁切方案：用其中8块物料，每块裁切A型底座8个和B型底座3个，用7块物料，每块裁切A型底座0个和B型底座6个。(方法不唯一)|
2 [2024杭州拱墅区期中]根据以下素材,完成任务。
|解决挖掘机的租用和保养问题|
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|素材1|市政府计划对奥体中心附近的主干道进行改造。施工方考虑到封道区域的限定,计划每小时挖掘土石方$1760m^3,$现租用甲、乙两种型号的挖掘机,租赁公司提供的挖掘机有关信息如下表:|
| | |型号|挖掘土石方量(单位$:m^3/($台·时))|租金(单位:元/(台·时))|
| | |甲型|160|190|
| | |乙型|240|260|
|素材2|为使得挖掘机正常运行,应注重对自锁机构的维修与保养,对失去定位效能的弹簧、钢球应及时更换。现预估保养费用为w元,若购买20根弹簧和15颗钢球,则保养费用w还缺25元;若购买19根弹簧和13颗钢球,则保养费用w还剩15元。|
|问题解决| |
|任务1|制定租用计划|若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台,恰好完成每小时的挖掘量。甲、乙两种型号的挖掘机各需租用多少台?甲型挖掘机2台，乙型挖掘机6台。|
|任务2|探究租用方案|若租用的挖掘机不限台数(两种型号的挖掘机都要租用),又恰好完成每小时的挖掘量,请问有哪几种租用方案。方案1：租用8台甲型挖掘机，2台乙型挖掘机；方案2：租用5台甲型挖掘机，4台乙型挖掘机；方案3：租用2台甲型挖掘机，6台乙型挖掘机。|
|任务3|确定保养费用|基于任务2中租金最少的方案,现为每台挖掘机分别配备2根弹簧和1颗钢球,并额外购买1根弹簧和1颗钢球作为备用,则实际保养费用为____w - 95元(用含w的代数式表示)。|

答案： 解：【任务一】8 3 0 6
设将这一块物料裁切A型底座m个，B型底座n个，根据题意，得$45m + 120n = 720$，所以$m = \frac{48 - 8n}{3}$，因为m，n为非负整数，所以$\begin{cases}m = 16 \\ n = 0 \end{cases}$或$\begin{cases}m = 8 \\ n = 3 \end{cases}$或$\begin{cases}m = 0 \\ n = 6 \end{cases}$，所以方法二为裁切A型底座8个和B型底座3个；方法三为裁切A型底座0个和B型底座6个。
【任务二】因为$\frac{11×720}{45 + 120} = 48$（组），
所以该工厂购进11块该型号物料，能制作成48组底座。
【任务三】设用其中x块物料，每块裁切A型底座8个和B型底座3个，用y块物料，每块裁切A型底座0个和B型底座6个，根据题意，得$\begin{cases}8x = 70 - 6 \\ 3x + 6y = 70 - 4 \end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 8 \\ y = 7 \end{cases}$，
因为$8 + 7 = 15$（块），
所以需要购买该型号物料15块，用其中8块物料，每块裁切A型底座8个和B型底座3个，用7块物料，每块裁切A型底座0个和B型底座6个。（方法不唯一）
解：【任务1】设租用甲型挖掘机x台，乙型挖掘机y台，
根据题意，得$\begin{cases}x + y = 8 \\ 160x + 240y = 1760 \end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 2 \\ y = 6 \end{cases}$。
答：租用甲型挖掘机2台，乙型挖掘机6台。
【任务2】设租用甲型挖掘机m台，乙型挖掘机n台，
根据题意，得$160m + 240n = 1760$，
所以$m = 11 - \frac{3}{2}n$。
因为m，n均为正整数，
所以$\begin{cases}m = 8 \\ n = 2 \end{cases}$或$\begin{cases}m = 5 \\ n = 4 \end{cases}$或$\begin{cases}m = 2 \\ n = 6 \end{cases}$，
所以共有3种租用方案，
方案1：租用8台甲型挖掘机，2台乙型挖掘机；
方案2：租用5台甲型挖掘机，4台乙型挖掘机；
方案3：租用2台甲型挖掘机，6台乙型挖掘机。
【任务3】$(w - 95)$
当$m = 8$，$n = 2$时，所需租金为$190×8 + 260×2 = 2040$（元）；
当$m = 5$，$n = 4$时，所需租金为$190×5 + 260×4 = 1990$（元）；
当$m = 2$，$n = 6$时，所需租金为$190×2 + 260×6 = 1940$（元）。
因为$1940 ＜ 1990 ＜ 2040$，
所以租用2台甲型挖掘机，6台乙型挖掘机时租金最少。
所需弹簧数量为$2×(2 + 6) + 1 = 17$（根），
所需钢球数量为$1×(2 + 6) + 1 = 9$（颗）。
设弹簧的单价为a元，钢球的单价为b元，
根据题意，得$\begin{cases}w = 20a + 15b - 25 \\ w = 19a + 13b + 15 \end{cases}$，
所以$20a + 15b - 25 = 19a + 13b + 15$，所以$a + 2b = 40$，
所以$17a + 9b = (19a + 13b) - 2a - 4b = (w - 15) - 2(a + 2b) = w - 15 - 2×40 = (w - 95)$（元）。
所以实际保养费用为$(w - 95)$元。