《2025年一遍过八年级数学上册北师大版》

1 有以下四条直线,其中直线上每个点的坐标都适合二元一次方程$x - 2y = 2$的是(C)

答案： C 令$x=0$，得$y=-1$，令$y=0$，得$x=2$，所以直线与$y$轴的交点坐标为$(0,-1)$，与$x$轴的交点坐标为$(2,0)$，结合图象，知选 C。

2 以二元一次方程$3x - 2y = 1的解为坐标的点都在直线l$上,则直线$l$对应的函数表达式为$y=\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}$。
归纳总结
二元一次方程与一次函数的区别
(1)方程中的$x$，$y$和函数中的$x$，$y$有不同的含义，二元一次方程中的$x$，$y$是未知数，一次函数中的$x$，$y$均为变量。(2)二元一次方程用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量之间的关系，也可用表格或图象来表示两个变量之间的关系。(3)二元一次方程是从数的角度，即二元一次方程有无数个解；一次函数是从形(直线)的角度，即一次函数图象上有无数个点。

答案： $y=\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}$
归纳总结
二元一次方程与一次函数的区别
(1)方程中的$x$，$y$和函数中的$x$，$y$有不同的含义，二元一次方程中的$x$，$y$是未知数，一次函数中的$x$，$y$均为变量。
(2)二元一次方程用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量之间的关系，也可用表格或图象来表示两个变量之间的关系。
(3)二元一次方程是从数的角度，即二元一次方程有无数个解；一次函数是从形(直线)的角度，即一次函数图象上有无数个点。

3 [2024张家口桥西区期末]已知方程组$\left\{\begin{array}{l} 3x - y = 1,\\ y = 2x\end{array}\right. 的解为\left\{\begin{array}{l} x = 1,\\ y = 2,\end{array}\right. 则一次函数y = 3x - 1与y = 2x$的图象的交点坐标为((1,2))
A. $(1, - 2)$
B. $( - 1,2)$
C. $( - 1, - 2)$
D. $(1,2)$

答案： D 解题思路：确定两个一次函数图象的交点坐标，就是求相应的二元一次方程组的解。

4 教材随堂练习变式[2025宁波期末]如图,已知一次函数$y = - x + 4和y = ax + 2(a ≠ 0)的图象交于点M$,则关于$x$,$y的二元一次方程组\left\{\begin{array}{l} y = - x + 4,\\ y = ax + 2\end{array}\right. $

的解是(C)
A. $\left\{\begin{array}{l} x = 3,\\ y = 1\end{array}\right. $
B. $\left\{\begin{array}{l} x = 0,\\ y = 2\end{array}\right. $
C. $\left\{\begin{array}{l} x = 1,\\ y = 3\end{array}\right. $
D. $\left\{\begin{array}{l} x = 4,\\ y = 0\end{array}\right. $

答案： C
解题通法
用图象法解二元一次方程组
(1)转函数：将方程组中每个方程分别转化成一次函数表达式。
(2)画图象：在同一平面直角坐标系中分别画出两个一次函数的图象。
(3)找交点：根据两个图象的交点坐标写出方程组的解。

5 [2025咸阳期末]若直线$y = 3x + a与直线y = - \frac{1}{2}x的交点的横坐标为2$,则关于$x$,$y的二元一次方程组\left\{\begin{array}{l} y - 3x = a,\\ y + \frac{1}{2}x = 0\end{array}\right. $的解是($\begin{cases}x=2,\\y=-1\end{cases}$)
A. $\left\{\begin{array}{l} x = 2,\\ y = 1\end{array}\right. $
B. $\left\{\begin{array}{l} x = - 1,\\ y = 2\end{array}\right. $
C. $\left\{\begin{array}{l} x = - 2,\\ y = 1\end{array}\right. $
D. $\left\{\begin{array}{l} x = 2,\\ y = - 1\end{array}\right. $

答案： D 当$x=2$时，$y=-\frac{1}{2}×2=-1$，所以两直线的交点坐标为$(2,-1)$，所以方程组的解为$\begin{cases}x=2,\\y=-1\end{cases}$。

6 教材思考·交流变式 若关于$x$,$y的二元一次方程组\left\{\begin{array}{l} y = 3x - 2,\\ y = kx - 3\end{array}\right. $无解,则直线$y = 3x - 2与y = kx - 3$的位置关系是(A)
A. 平行
B. 垂直
C. 相交
D. 重合

答案： A 因为关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}y=3x-2,\\y=kx-3\end{cases}$无解，所以直线$y=3x-2$与$y=kx-3$没有公共点，即它们平行。
归纳总结
二元一次方程组的解与对应的两个一次函数图象的关系
(1)如果二元一次方程组无解，那么对应的两个一次函数的图象平行(无交点)；
(2)如果二元一次方程组有一组解，那么对应的两个一次函数的图象相交(有一个交点)；
(3)如果二元一次方程组有无数个解，那么对应的两个一次函数的图象重合(有无数个交点)。

7 [2025太原晋源区期末]如图,一次函数$y = kx + b的图象与一次函数y = x + 4的图象交于点A$,与$y轴交于点B$,根据图象,解决下列问题：
(1)根据图象直接写出方程组$\left\{\begin{array}{l} x - y = - 4,\\ y = kx + b\end{array}\right. $的解；
(2)直线$y = x + 4与x轴交于点C$,连接$BC$,求$\triangle ABC$的面积。

答案：
解：
(1)$\begin{cases}x=-1,\\y=3\end{cases}$
因为点$A(-1,3)$为两个函数图象的交点坐标，
所以方程组$\begin{cases}x-y=-4,\\y=kx+b\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=-1,\\y=3\end{cases}$。
(2)把$A(-1,3)$，$B(0,1)$的坐标代入$y=kx+b$，
解得$k=-2$，$b=1$，
所以函数$y=kx+b$的表达式为$y=-2x+1$，
如图，设函数$y=-2x+1$的图象与$x$轴的交点为$M$，过点$A$作$AN⊥x$轴，垂足为$N$，当$y=0$时，$x=\frac{1}{2}$，所以点$M$的坐标为$(\frac{1}{2},0)$，
所以$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ACM}-S_{\triangle BCM}=\frac{1}{2}CM×AN-\frac{1}{2}CM×BO=\frac{1}{2}×\frac{9}{2}×3-\frac{1}{2}×\frac{9}{2}×1=\frac{9}{2}$。