《2025年一遍过八年级数学上册北师大版》

9 [2025 宜春段考]已知$a= \sqrt {3}+\sqrt {2},b= \sqrt {3}-\sqrt {2}$,那么 a 与 b 的关系为(C)
A. 相等
B. 互为相反数
C. 互为倒数
D. 绝对值相等

答案： C 解题思路：结合选项要求，利用作差法得$a-b=$
$2\sqrt {2}＞0$，可知A项错误；求和得$a+b=2\sqrt {3}≠0$，可知B项错误；由于$a+b≠0$，且$a-b≠0$，可知D项错误；由$ab=1$，可知C项正确。
A项，因为$a=\sqrt {3}+\sqrt {2},b=\sqrt {3}-\sqrt {2}$，所以$a-b=(\sqrt {3}+\sqrt {2})-(\sqrt {3}-\sqrt {2})=2\sqrt {2}＞0$，所以$a＞b$，不符合题意；B项，因为$a=\sqrt {3}+\sqrt {2},b=\sqrt {3}-\sqrt {2}$，所以$a+b=(\sqrt {3}+\sqrt {2})+(\sqrt {3}-\sqrt {2})=2\sqrt {3}≠0$，所以$a$与$b$不互为相反数，不符合题意；C项，因为$a=\sqrt {3}+\sqrt {2},b=\sqrt {3}-\sqrt {2}$，所以$ab=(\sqrt {3}+\sqrt {2})(\sqrt {3}-\sqrt {2})=3-2=1$，所以$a$与$b$互为倒数，符合题意；D项，由A项与B项的说明过程可知$a+b≠0$，且$a-b≠0$，$a$与$b$的绝对值不相等，不符合题意。

10 [2024 南通期末]若 m 为实数,在“$(\sqrt {5}+2)□m$”的“□”中添上一种运算符号(在“+”“-”“×”“÷”中选择)后,其运算的结果为有理数,则 m 的值不可能是(C)
A.$\sqrt {5}+2$
B.$\sqrt {5}-2$
C.$2\sqrt {5}$
D.$2-\sqrt {5}$

答案： 如果“□”中添上的是“+”，要使运算的结果为有理数，则$m$可以为D项中的代数式；如果“□”中添上的是“-”，要使运算的结果为有理数，则$m$可以为A项、B项中的代数式；如果“□”中添上的是“×”，要使运算的结果为有理数，则$m$可以为B项、D项中的代数式；如果“□”中添上的是“÷”，要使运算的结果为有理数，则$m$可以为A项中的代数式。综上所述，$m$的值不可能是C项中的代数式。

11 [2025 南阳十三中月考]如图,从一个大正方形中裁去面积为$6cm^{2}和15cm^{2}$的两个小正方形,则留下的阴影部分的面积为
(A)
A.$6\sqrt {10}cm^{2}$
B.$21cm^{2}$
C.$2\sqrt {15}cm^{2}$
D.$4\sqrt {6}cm^{2}$

答案： A 因为两个小正方形的面积分别为$15cm^{2}$和$6cm^{2}$，所以两个小正方形的边长分别为$\sqrt {15}cm,\sqrt {6}cm$，所以大正方形的边长为$(\sqrt {15}+\sqrt {6})cm$，所以阴影部分的面积为$(\sqrt {15}+\sqrt {6})^{2}-6-15=15+2×\sqrt {15}×\sqrt {6}+6-6-15=6\sqrt {10}(cm^{2})$。

12 [2025 眉山期中]计算：$(1-\sqrt {2})^{2024}×(\sqrt {2}+1)^{2025}=$$\sqrt {2}+1$。

答案： $\sqrt {2}+1$ $(1-\sqrt {2})^{2024}×(\sqrt {2}+1)^{2025}=[(1-\sqrt {2})×(1+\sqrt {2})]^{2024}×(\sqrt {2}+1)=(1-2)^{2024}×(\sqrt {2}+1)=(-1)^{2024}×(\sqrt {2}+1)=1×(\sqrt {2}+1)=\sqrt {2}+1$。

13 [2025 怀化期末]对于任意不相等的两个数 a,b,定义一种运算※如下：$a※b= \frac {\sqrt {a+b}}{a-b}$,如$5※4= \frac {\sqrt {5+4}}{5-4}= 3$,那么$(2-\sqrt {3})※(7※5)= $$-\frac {\sqrt {2}+\sqrt {6}}{4}$。

答案： $-\frac {\sqrt {2}+\sqrt {6}}{4}$ $(2-\sqrt {3})※(7※5)=(2-\sqrt {3})※\frac {\sqrt {7}+5}{7-5}=(2-\sqrt {3})※\frac {\sqrt {12}}{2}=(2-\sqrt {3})※\frac {2\sqrt {3}}{2}=(2-\sqrt {3})※\sqrt {3}=\frac {\sqrt {2-\sqrt {3}+\sqrt {3}}}{2-\sqrt {3}-\sqrt {3}}=\frac {\sqrt {2}}{2-2\sqrt {3}}=\frac {\sqrt {2}×(2+2\sqrt {3})}{(2-2\sqrt {3})(2+2\sqrt {3})}=\frac {2\sqrt {2}+2\sqrt {6}}{4-12}=\frac {2\sqrt {2}+2\sqrt {6}}{-8}=-\frac {\sqrt {2}+\sqrt {6}}{4}$。

14 计算：
(1)[2024 青岛崂山区期末]$(3\sqrt {20}+\sqrt {45}-\sqrt {\frac {1}{5}})×\sqrt {5}$；
(2)[2025 上海黄浦区期末]$\sqrt {48}-2\sqrt {0.75}-6\sqrt {\frac {1}{3}}-\frac {1}{2-\sqrt {3}}$。

答案： 解：
(1)$(3\sqrt {20}+\sqrt {45}-\sqrt {\frac {1}{5}})×\sqrt {5}$
$=(6\sqrt {5}+3\sqrt {5}-\frac {1}{5}\sqrt {5})×\sqrt {5}$
$=\frac {44}{5}\sqrt {5}×\sqrt {5}$
$=\frac {44}{5}×5$
$=44$。
(2)$\sqrt {48}-2\sqrt {0.75}-6\sqrt {\frac {1}{3}}-\frac {1}{2-\sqrt {3}}$
$=4\sqrt {3}-\sqrt {3}-2\sqrt {3}-(2+\sqrt {3})$
$=4\sqrt {3}-\sqrt {3}-2\sqrt {3}-2-\sqrt {3}$
$=-2$。

15 [2024 枣庄山亭区期中]已知$a= 2+\sqrt {5},b= 2-\sqrt {5}$,求代数式$a^{2}b+ab^{2}$的值。
-4

答案： 解：因为$a=2+\sqrt {5},b=2-\sqrt {5}$，
所以$a^{2}b+ab^{2}=ab(a+b)=(2+\sqrt {5})(2-\sqrt {5})(2+\sqrt {5}+2-\sqrt {5})=(4-5)×4=-1×4=-4$。

16 新趋势·过程性学习[2024 沈阳四十三中期中]在进行二次根式的化简与运算时,我们有时会碰到$\frac {5}{\sqrt {3}},\sqrt {\frac {2}{3}},\frac {2}{\sqrt {3}+1}$之类的式子,其实我们还可以将其进一步化简,如：$\frac {5}{\sqrt {3}}= \frac {5×\sqrt {3}}{\sqrt {3}×\sqrt {3}}= \frac {5\sqrt {3}}{3};\sqrt {\frac {2}{3}}= \sqrt {\frac {2×3}{3×3}}= \frac {\sqrt {6}}{3};\frac {2}{\sqrt {3}+1}= \frac {2(\sqrt {3}-1)}{(\sqrt {3}+1)(\sqrt {3}-1)}= \frac {2(\sqrt {3}-1)}{2}= \sqrt {3}-1$。
以上这种化简的方法叫作分母有理化。
(1)化简：$\frac {3}{\sqrt {27}}=$$\frac {\sqrt {3}}{3}$；$\frac {2}{\sqrt {5}+\sqrt {3}}=$$\sqrt {5}-\sqrt {3}$。
(2)化简：$\frac {1}{\sqrt {3}+1}+\frac {1}{\sqrt {5}+\sqrt {3}}+\frac {1}{\sqrt {7}+\sqrt {5}}+... +\frac {1}{\sqrt {2n+1}+\sqrt {2n-1}}$=$\frac {1}{2}(\sqrt {2n+1}-1)$。

答案： 解：
(1)$\frac {\sqrt {3}}{3}$ $\sqrt {5}-\sqrt {3}$
$\frac {3}{\sqrt {27}}=\frac {3}{3\sqrt {3}}=\frac {1}{\sqrt {3}}=\frac {1×\sqrt {3}}{\sqrt {3}×\sqrt {3}}=\frac {\sqrt {3}}{3},\frac {2}{\sqrt {5}+\sqrt {3}}=\frac {2(\sqrt {5}-\sqrt {3})}{(\sqrt {5}+\sqrt {3})(\sqrt {5}-\sqrt {3})}=\frac {2(\sqrt {5}-\sqrt {3})}{5-3}=\frac {2(\sqrt {5}-\sqrt {3})}{2}=\sqrt {5}-\sqrt {3}$。
(2)$\frac {1}{\sqrt {3}+1}+\frac {1}{\sqrt {5}+\sqrt {3}}+\frac {1}{\sqrt {7}+\sqrt {5}}+... +\frac {1}{\sqrt {2n+1}+\sqrt {2n-1}}$
$=\frac {\sqrt {3}-1}{(\sqrt {3}+1)(\sqrt {3}-1)}+\frac {\sqrt {5}-\sqrt {3}}{(\sqrt {5}+\sqrt {3})(\sqrt {5}-\sqrt {3})}+\frac {\sqrt {7}-\sqrt {5}}{(\sqrt {7}+\sqrt {5})(\sqrt {7}-\sqrt {5})}+... +\frac {\sqrt {2n+1}-\sqrt {2n-1}}{(\sqrt {2n+1}+\sqrt {2n-1})(\sqrt {2n+1}-\sqrt {2n-1})}$
$=\frac {\sqrt {3}-1}{2}+\frac {\sqrt {5}-\sqrt {3}}{2}+\frac {\sqrt {7}-\sqrt {5}}{2}+... +\frac {\sqrt {2n+1}-\sqrt {2n-1}}{2}$
$=\frac {1}{2}(-1+\sqrt {3}-\sqrt {3}+\sqrt {5}-\sqrt {5}+\sqrt {7}-... -\sqrt {2n-1}+\sqrt {2n+1})$
$=\frac {1}{2}(\sqrt {2n+1}-1)$。

学习无理数后,你对数及其运算又有哪些新的认识？

答案： 【解析】：在学习无理数之前，我们主要接触的是有理数，有理数包括整数和分数，其运算规则相对较为直观和熟悉。而无理数是无限不循环小数，引入无理数后，数的范围从有理数扩充到了实数。从数的表示上看，无理数不能像有理数那样精确地表示为分数形式，它的出现让我们认识到数的表示更加丰富和复杂。在运算方面，有理数的运算律在实数范围内仍然适用，但无理数的运算会更具挑战性，例如无理数的加减运算，只有同类二次根式才能合并；无理数的乘除运算也有其特殊的规则。同时，无理数的存在使得一些原本在有理数范围内无解的方程有了实数解，让我们对数学问题的求解有了更深入的认识。
【答案】：1. 数的范围从有理数扩充到了实数，数的表示更加丰富和复杂，无理数不能精确表示为分数形式。2. 有理数的运算律在实数范围内仍适用，但无理数运算更具挑战性，如无理数加减只有同类二次根式可合并，乘除有特殊规则。3. 无理数使一些在有理数范围内无解的方程有了实数解，对数学问题求解有更深入认识。